TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 357

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:$M=\mathbb {N} ,a\circ b=min\{a,b\}$

Lösungsvorschlag von neo

$a,b\in \mathbb {N} \to min\{a,b\}\in \mathbb {N} \to abgeschlossen$
$(a\circ b)\circ c=(min\{a,b\})\circ c=min\{\{min\{a,b\},c\}$
$a\circ (b\circ c)=a\circ (min\{b,c\})=min\{a,min\{b,c\}\}$
Da immer das kleinste Element herauskommt $\to assoziativ$

$a\circ e=a\to min\{a,e\}=a\to e=a$ (d.h bei jedem $a\in \mathbb {N}$ hat $e$ einen anderen Wert) -> "einen" Wert? eher andere Werte, die größer gleich einem Wert sind.

$\to es\,existiert\,kein\,neutrales\,Element$

$\Rightarrow Halbgruppe$