TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 362

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Man beweise die Gültigkeit der folgenden Rechenregeln in einer Gruppe

(G,\cdot) für beliebige a,b,c \in G:

(i) a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c (Kürzungsregel)

(ii) (a^{-1})^{-1} = a

(iii) (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}

(iv) Die Gleichung a \cdot x = b ist in G stets

eindeutig lösbar.

Lösung von themoep[Bearbeiten]

Erinnert euch: Eine Gruppe ist abgeschlossen, besitzt Assoziativitaet, hat ein Einheitselement und ein Inverses Element a^{-1} zu a. Diese Rechenregeln werden hier angewandt.

Hinweis:  a^{-1} = a'

(i)[Bearbeiten]


a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c

b = e \cdot b = (a' \cdot a) \cdot b = a' \cdot (a \cdot b) = a' \cdot (a \cdot c) = (a' \cdot a) \cdot c = e \cdot c = c

(ii)[Bearbeiten]


(a^{-1})^{-1} = a

a = a \cdot e = a \cdot (a^{-1} \cdot (a^{-1})^{-1}) = (a \cdot a^{-1}) 
\cdot (a^{-1})^{-1} = e \cdot (a^{-1})^{-1} = (a^{-1})^{-1}

(iii)[Bearbeiten]


(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}
b^{-1}a^{-1} = b^{-1}a^{-1} \cdot e
= ( b^{-1}a^{-1} ) \cdot ((a \cdot b) \cdot (a \cdot b)^{-1})
= ( ( b^{-1}a^{-1} ) \cdot ( a \cdot b ) ) \cdot (a \cdot b)^{-1}
= ( b^{-1} \cdot ( a^{-1}  \cdot a ) \cdot b ) \cdot (a \cdot b)^{-1}
= ( ( b^{-1} \cdot e ) \cdot b ) \cdot (a \cdot b)^{-1}
= ( b^{-1} \cdot b ) \cdot (a \cdot b)^{-1}
= e \cdot (a \cdot b)^{-1} = (a \cdot b)^{-1}

(iv)[Bearbeiten]


a \cdot x = b

x = e \cdot x = ( a^{-1} \cdot a ) \cdot x = a^{-1} \cdot ( a \cdot x ) = 
a^{-1} \cdot b

Lösung von Juggl3r[Bearbeiten]

(i)[Bearbeiten]


a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c

Wir sehen, dass auf beiden Seiten der Gleichung links a steht. Wir multiplizieren also die Gleichung von links mit a^-1. (Achtung, wirklich von Links multiplizieren, da Kommutativität nicht gegeben ist.)


a^{-1} \cdot a \cdot b = a^{-1} \cdot a \cdot c


e \cdot b = e \cdot c

 b = c

qed.

(ii)[Bearbeiten]


(a^{-1})^{-1} = a

Die Eigenschaft eines inversen Elementes ist ja:


a^{-1} \cdot a = e

Das Gleiche können wir aber auf  a^{-1} anwenden, also:

 (a^{-1})^{-1} \cdot a^{-1} = e

Allerdings muss auf Grund der Eigenschaften des inversen Elementes auch folgendes gelten (man kann es vertauschen):

  a^{-1} \cdot (a^{-1})^{-1} = e

Als nächsten Schritt multiplizieren wir von links mit a:

  a \cdot a^{-1} \cdot (a^{-1})^{-1} = a \cdot e

Und daraus ergibt sich schließlich:

  (a^{-1})^{-1} = a

qed

(iii)[Bearbeiten]

siehe oben

(iv)[Bearbeiten]


a \cdot x = b

x = e \cdot x = ( a^{-1} \cdot a ) \cdot x = a^{-1} \cdot ( a \cdot x ) = 
a^{-1} \cdot b

Damit haben wir einmal bewiesen, dass die Gleichung lösbar ist. Wir müssen aber beweisen, dass die Gleichung eindeutig lösbar ist:

Dazu nehmen wir einmal an, dass es 2 Lösungen gibt:


a \cdot x1 = b


a \cdot x2 = b

Wir lösen die 2 Gleichungen:


x1 = a^{-1} \cdot b


x2 = a^{-1} \cdot b

Jetzt setzen wir gleich:


x1 = x2

Also eindeutig lösbar.

qed.

Hoffe ich konnte helfen, gebe aber keine Gewähr, dass Lösungen stimmen!

Lösung für (iii) von Ryus[Bearbeiten]

Die oben vorgeschlagene Lösung funktioniert zwar, ich finde es jedoch etwas schwer drauf zu kommen. Daher hier eine möglicherweise einfachere Lösung:

Genau dann wenn b^{-1}a^{-1} das Inverse zu ab ist, muss gelten: (ab)(b^{-1}a^{-1}) = e.

Also rechnen wir das einfach mal unter mehrmaliger Anwendung des Assoziativgesetzes aus:

(ab)(b^{-1}a^{-1})

= a(b(b^{-1}a^{-1}))

= a((bb^{-1})a^{-1})

= a(e)a^{-1}

= aa^{-1} = e

Damit ist die Aussage bewiesen.

--Ryus (Diskussion) 14:33, 23. Sep. 2015 (CEST)