TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 365

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Man zeige: Der Durchschnitt zweier Untergruppen ist wieder eine Untergruppe.

Gilt dies auch für die Vereinigung zweier Untergruppen?

Lösung[Bearbeiten]

Also wir haben eine Gruppe \left\langle G,*\right\rangle und davon zwei Untergruppen.

Ja was sind nun Untergruppen ?

Untergruppen sind Teilmengen der Gruppe , auf denen mit der selben Verknüpfung auch alle Gruppenaxiome gelten.

Streng mathematisch definiert: Eine Gruppe \left\langle U,*\right\rangle heißt Untergruppe der Gruppe \left\langle G,*\right\rangle,wenn U eine Teilmenge von G ist ( U\subset G ).

Und es gibt das sogenannte Untergruppenkriterium:

Sei U\subset G Dann ist genau dann U eine Untergruppe von G wenn gilt:

  • 1) U \neq \{\}( U ungleich der leeren Menge)
  • 2) Ist x \in U, so auch -x \in U ( von jedem Element muss auch das invers Element drin sein)
  • 3) Sind g, h \in U, so auch g+h \in U ( man darf nicht aus der Teilmenge rauskommen / Gesetz der Abgeschlossenheit)

So jetzt einige Abmachungen für das restliche Beispiel:

Wir nennen die Ausgangsgruppe G und die zwei Untergruppen U und V, Elemente von G,U,V schreiben wir immer mit Indizes damit wir wissen aus welcher Gruppe sie sind, also x_g, x_u oder auch y_v. Die Neutralelemente von G,U,V schreiben wir als e_g, e_u und e_v.

Der Durchschnitt von U,V ist : D = \{x\in G| x \in U \land x \in V\} . Also wenn D das Untergruppenkriterium erfüllt ist D auch eine Untergruppe.

  • 1) Es gilt für jede Untergruppe U oder V von G das e_g=e_u=e_v ist, weil es gilt für jedes Element der Untergruppe x_u - x_u = e_u als auch x_u - x_u = e_g, weil Elemente einer Untergruppe auch immer Elemente der Obergruppe sind. Also das neutral Element ist in jeder Untergruppe gleich dem Neutralelement der Obergruppe. Damit gilt e_g \in U und e_g \in V. Und somit ist auch e_g \in D. Und D nicht leer.
  • 2) Ist  a_u=a_v also ein Element in beiden enthalten, also ein Element aus D,dann ist, -a_u = -a_v, das zeigt man ganz gleich wie bei dem Neutralelement über die Obergruppe. Das heisst aber das auch -a_d=-a_u=-a_v in D enthalten ist.
  • 3) Gilt a_u=a_v und b_u=b_v, so gilt auch a_u+b_u=a_v+b_v, wieder mit dem gleichen Argument, und somit ist auch  a_d+b_d \in D

Also alle Bedingungen des Untergruppenkriteriums sind erfüllt.

Eine Anmerkung:

Aus dem bisher gesagten sieht man, die kleinste Untergruppe einer Gruppe {e}


Die Vereinigung zweier Untergruppen ist nicht immer eine Untergruppe.

Warum ?

Weil sei a Element aus U und b Element aus V und gelte a kein Element aus V und b kein Element aus U. dann gibt es keinen Grund warum a+b wieder in U vereinigt V liegen sollte.

Beispiel:

Obergruppe G=\left\langle ganze Zahlen,+\right\rangle

Untergruppe 1 U=\left\langle gerade Zahlen,+\right\rangle

Untergruppe 2 V=\left\langle durch 3 teilbare Zahlen,+\right\rangle

z.Bsb: 4 Element von U, 9 Element von V, 13 zwar Element von G, aber weder Element von U noch von V also auch nicht von der Vereinigung.

Nur wenn die Vereinigung zweier Untergruppen, wieder eine dieser zwei Untergruppen ergibt, ist es auch eine Untergruppe.

Ein Beispiel wäre:

Obergruppe G=\left\langle reelle Zahlen,+\right\rangle

Untergruppe 1 G=\left\langle ganze Zahlen,+\right\rangle

Untergruppe 2 G=\left\langle rationale Zahlen,+\right\rangle