TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 367

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In der Symetriegruppe des Quadrats aus Aufgabe 253 bestimme die Rechts- bzw. Linksnebenklassenzerlegung nach einer

a.) von einer Drehung b.) von einer Spiegelung erzeugten Untergruppe.

Lösung[Bearbeiten]

Die Symmetriegruppe des Quadrats hat 8 Elemente, das sind alle Drehungen und Spiegelungen. Man kann diese einzelnen Elemente als Permutationen über die Eckpunkte darstellen. Also wenn, (1,2,3,4) die Ecken eines Quadrates im Uhrzeigersinn sind,

dann ist eine Drehung um 90 Grad, wieder im Uhrzeigersinn, die Permutation (2,3,4,1), auch schreibbar als Zyklus (1234).

Hier alle Elemente der Symetriegruppe des Quadrats:

a1 =(1)( Drehung um 360 Grad),

a2 =(1234) (Drehungn um 90 Grad),

a3 =(1432) ( Drehung um 270 Grad),

a4 =(13)(24) (Drehung um 180 Grad),

a5 =(12)(34) ( Spiegelung an der vertikalen Achse)

a6 =(14)(23) ( Spiegelung an der horizontalen Achse)

a7 =(13) ( Spiegelung an der Hauptdiagonale)

a8 =(24) ( Spiegelung an der Nebendiagonale)

Die Verknüpfung der Elemente einer Gruppe ist das Hintereinanderausführen der Permutationen. Also a7*a4 ist zuerst Drehung um 180 Grad und dann Spiegelung an der Hauptdiagonale, zu beachten ist das man hier von rechts nach links vorgeht. Übrigens a7*a4 = a8.

Verknüpfungstabelle für diese Gruppe 
\begin{array}{c|cccccccc}
* & a1&a2&a3&a4&a5&a6&a7&a8\\\hline
a1 & a1&a2&a3&a4&a5&a6&a7&a8\\
a2 & a2&a4&a1&a3&a8&a7&a5&a6\\
a3 & a3&a1&a4&a2&a7&a8&a6&a5\\
a4 & a4&a3&a2&a1&a6&a5&a8&a7\\
a5 & a5&a7&a8&a6&a1&a4&a2&a3\\
a6 & a6&a8&a7&a5&a4&a1&a3&a2\\
a7 & a7&a6&a5&a8&a3&a2&a1&a4\\
a8 & a8&a5&a6&a7&a2&a3&a4&a1\\
\end{array}

Es sind nun Rechts bzw Linksnebenklassenzerlegungen einer durch eine Drehung bzw. durch eine Spiegelung erzeugten Untergruppe zu bilden.

Was ist eine Untergruppe einer Spiegelung oder einer Drehung nun ?

Es ist die Untergruppe die entsteht wenn man eine solche immer wieder auf sich selbst anwendet, diese Dinger heißen auch zyklische Gruppen.

Beispiel: Untergruppe der Drehung a2 Jetzt einmal ganz unmathematisch: 2mal um 90 gedreht ergibt 180, 3mal 270, 4mal 0, 5mal wieder 90. Also die Elemente sind a1,a2,a3,a4. Ist das eine Untergruppe.. ? Ja es ist das Neutralelement drinnen und auch jedes Element hat ein Inverses und abgeschlossen ist es auch. Schreiben wir unsere Erkenntnis mal als Tabelle nieder.


\begin{array}{c|cccc}
* & a1&a2&a3&a4\\\hline
a1 & a1&a2&a3&a4\\
a2 & a2&a4&a1&a3\\
a3 & a3&a1&a4&a2\\
a4 & a4&a3&a2&a1\\
\end{array}

Es überrascht hoffentlich keinen das das eine Teiltabelle der oberen ist ;-)

Noch ein Beispiel: Untergruppe der Spiegelung a5 2mal gespiegelt ergibt 0 und 3mal gespiegelt wieder 1mal gespiegelt, also unsere Elemente sind a5 und a1. Das ist wie man sich leicht überlegt wieder eine Untergruppe. Tabelle dazu:


\begin{array}{c|cc}
* & a1&a5\\\hline
a1 & a1&a5\\
a5 & a5&a1\\
\end{array}

Wieder hält sich die Überraschung in Grenzen.

So die Frage die sich der ambitionierte Student jetzt natürlich stellt ist, "Geht das mit jedem Element, und wenns da geht, geht das vielleicht mit jedem Element in jeder Gruppe. Die Antwort ist ja und nein, es geht bei dieser Gruppe, aber es geht nicht bei unendlich großen Gruppen, also nur bei endlichen sicher und für jedes Element. Das ist was uns Aufgabe 241 auch sagen will.

So zwei Untergruppen haben wir ja schon mal jetzt brauchen wir nur noch die Nebenklassenzerlegung nach den beiden.

Was ist nun das wieder? Rechts(Links)nebenklassen und Rechts(Links)nebenklassenzerlegung nach einer Untergruppe.

Also eine Linksnebenklasse nach einer Untergruppe ist wie folgt definiert: Ist G eine Gruppe und U eine Untergruppe davon, und g ein Element von G, so ist

g*U={g*u|u Element von U}. eine Linksnebenklasse von G nach U.

und

U*g={u*g|u Element von U}. eine Rechtsnebenklasse von G nach U.

Der Name "klassen" verrät es schon diese Nebenklassen zerlegen G in Partitionen, also es gilt: Zwei verschiedene Nebenklassen von G nach U sind disjunkt, und die Vereinigung aller Nebenklassen G nach U ist wieder G. Genau diese Zerlegung in Partitionen ist die Rechts(Links)Nebenklassenzerlegung.

Ok, grau ist alle Theorie,machen wir mal die Linksnebenklassen für unser 1. Beispiel

a1*U={a1,a2,a3,a4}=U,

a2*U={a2,a3,a4,a1}=U,

a3*U={a3,a4,a1,a2}=U,

a4*U={a4,a1,a2,a3}=U,

a5*U={a5,a7,a8,a6}

a6*U={a6,a8,a7,a5}

a7*U={a7,a6,a5,a8}

a8*U={a8,a5,a6,a7}

Also die Linksnebenklassenzerlegung von U nach G, wobei U die aus a2 erzeugte Untergruppe ist, ist : U, {a5,a6,a7,a8}

Die Rechtsnebenklassenzerlegung funktioniert analog und es kommt das selbe raus... vielleicht zur Übung noch mal machen...

Für das 2. Beispiel ergibt sich folgendes:

a1*U={a1,a5}=U,

a2*U={a2,a8},

a3*U={a3,a7},

a4*U={a4,a6},

a5*U={a5,a1}=U

a6*U={a6,a4}

a7*U={a7,a3}

a8*U={a8,a2}

Also Die Linksnebenklassenzerlegung von U nach G, wobei U die aus a5 erzeugte Untergruppe ist, ist : U,{a2,a8},{a3,a7},{a4,a6}. Die Rechtsnebenklassenzerlegung geht wieder analog und das Ergebnis ist : U,{a2,a7},{a3,a8},{a4,a6}.

Und damit sind wir fertig, obwohl es natürlich noch viel dazu zu sagen gäbe ;-)