TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 372

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In der Symetriegruppe des Quadrats aus Aufgabe 253 bestimme die Rechts- bzw. Linksnebenklassenzerlegung nach einer

a.) von einer Drehung b.) von einer Spiegelung erzeugten Untergruppe.

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Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Symmetriegruppe des Quadrats hat 8 Elemente, das sind alle Drehungen und Spiegelungen. Man kann diese einzelnen Elemente als Permutationen über die Eckpunkte darstellen. Also wenn, (1,2,3,4) die Ecken eines Quadrates im Uhrzeigersinn sind,

dann ist eine Drehung um 90 Grad, wieder im Uhrzeigersinn, die Permutation (2,3,4,1), auch schreibbar als Zyklus (1234).

Hier alle Elemente der Symetriegruppe des Quadrats:

a1 =(1)( Drehung um 360 Grad),

a2 =(1234) (Drehungn um 90 Grad),

a3 =(1432) ( Drehung um 270 Grad),

a4 =(13)(24) (Drehung um 180 Grad),

a5 =(12)(34) ( Spiegelung an der vertikalen Achse)

a6 =(14)(23) ( Spiegelung an der horizontalen Achse)

a7 =(13) ( Spiegelung an der Hauptdiagonale)

a8 =(24) ( Spiegelung an der Nebendiagonale)

Die Verknüpfung der Elemente einer Gruppe ist das Hintereinanderausführen der Permutationen. Also a7*a4 ist zuerst Drehung um 180 Grad und dann Spiegelung an der Hauptdiagonale, zu beachten ist das man hier von rechts nach links vorgeht. Übrigens a7*a4 = a8.

Verknüpfungstabelle für diese Gruppe