TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 370

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Sei U die von (123) erzeugte Untergruppe der S_3. Man bestimme die Linksnebenklassen von U. Weiters stelle man fest, ob U der Normalteiler von S_3 ist und bestimme gegebenenfalls die Gruppentafel der Faktorgruppe S_3/U.

 UE WS07 Anmerkung zu Bsp. 257: (123) verwendet die Zyklendarstellung einer Permutation, d.h. gemeint 
                                ist die Permutation (1,2,3) -> (2,3,1).

Neuüberarbeitung der Lösung zu diesem Beispiel[Bearbeiten]

Zur erfolgreichen Lösung dieses Beispiels müssen wir verschiedene Grundbegriffe wissen, welche wären

  • was ist eine Abbildung (hier im besonderen die bijektive Abbildung)
  • was kann man sich unter der Menge aller Abbildungen vorstellen
  • was ist eine algebraische Struktur (Gruppoid, Halbgruppe, Monoid, Gruppe, abelsche Gruppe)
  • was ist eine Permutation und Permutationen von Abbildungen
  • wie ist die symmetrische Gruppe S_M definiert
  • was ist das erzeugende Element (123) erzeugt U

Ich bitte alle interessierten Leser dieses Themas per Diskussion mitzuteilen, wo hier der größte Erklärungsbedarf herrscht.

Lösung[Bearbeiten]

Symetrische Gruppe S_3[Bearbeiten]

S_3 ist die Gruppe bestehend aus der Menge aller möglichen drei-elementigen bijektiven Abbildungen und der Operation \circ, welche die Komposition (Hintereinanderausführung) ist. Die einzelnen Elemente der Gruppe werden in Zyklendarstellung angegeben.

 < \{ (1)(2)(3), (1)(23), (2)(13), (3)(12), (123), (132) \} , \circ >

.

Weiters ist zu beachten, daß auf S_3 alle Gruppeneigenschafte zutreffen:

  • abgeschlossen
  • assoziativ
  • es existiert ein neutrales Element (1)(2)(3)
  • zu jedem Element existiert ein inverses Element

Untergruppe U = <(123)> [Bearbeiten]

U ist die durch (123) gebildete Untergruppe von S_3. D.h. alle sich in der Untergruppe U befindlichen Elemente können durch das Element (123) mit der Operation \circ bei mehrfacher Ausführung dieser erzeugt werden.

Berechnung (123)^n[Bearbeiten]

Man darf sich hier von der Potenz nicht täuschen lassen, denn sie hat nur indirekt mit der für uns geläufigen Potenzrechnung zu tun. Das n bezieht sich hier auf die Anzahl der Ausführung der Operation. So heißt zb. (123)^1=(123) und (123)^2=(123)\circ(123) und (123)^3=(123)\circ(123)\circ(123).

  • 1. Element (123)^1=(123)
  • 2. Element (123)^2=(123) \circ (123)=(132)
  • 3. Element (123)^3=(123) \circ (123) \circ (123)=(132) \circ (123)=(1)(2)(3)
  • 4. Element (123)^4=(123) \circ (123) \circ (123) \circ (123)=(1)(2)(3) \circ (123)=(123)

Beim errechnen des 4. Elementes sehen wir, daß es mit dem 1. Element ident ist, und haben somit unsere komplette Gruppe erzeugt.

U =< \{ (1)(2)(3),(123),(132) \} , \circ > Da U ebenfalls eine Gruppe ist, gelten auch hier oben genannten Gruppeneigenschaften.

Linksnebenklassen[Bearbeiten]

Bestimmung der LNK (Linksnebenklassen)

Bei der Bestimmung der LNK berechnen wir uns mit Hilfe des Satzes von Lagrange die Anzahl der Nebenklassen

  • Der Satz von Lagrange besagt das: |S_3| = |U|*|S_3:U| ist. Und da |S_3| = 6 und |U| = 3 folgt das der Index |S_3:U|=2 ist. Da wir schon mittels U eine Linksnebenklasse bestimmt haben (U selbst ist eine LNK und RNK), müssen wir nur noch eine weitere Linksnebenklasse bestimmen. Dieses machen wir, in dem wir ein Element aus der Ursprungsgruppe S_3 wählen und die Operation auf alle Elemente in der Untergruppe U anwenden.

Mathematisch formuliert sieht das dann so aus: LNK = \{a \circ u|a \in S_3 \wedge \forall u \in U\}. Würde man alle Elemente aus S_3 wählen, um die LNK/RNK zu bestimmen, würde man bemerken, daß viele Untergruppen zusammenfallen (in dem sie die selben Elemente beinhalten). Sinngemäß wählen wir ein Element aus S_3 aus, daß nicht auch schon ein Element aus U ist, da wir sonst wegen der Abgeschlossenheit nur wieder U erzeugen würden. Wichtig dabei ist, daß die erzeugte Nebenklasse unterschiedliche Elemente beinhaltet (Achtung, die Reihenfolge ist hier nicht relevant, da es sich um eine Menge handelt!) und das die Anzahl (=Mächtigkeit) der neuen Nebenklasse genau so viele Elemente hat, wie alle anderen bereits gefunden Nebenklassen. Wenn dem nicht so ist (alle Elemente gleich), dann muß ich mir ein weiteres Element aus S_3 suchen, um meine Nebenklassen zu finden, bis ich die, laut Lagrange, nötigen unterschiedlichen Klassen habe.

Berechnung LNK a \circ u[Bearbeiten]

Gewähltes a=(1)(23)

  • 1. Element aus U (1)(2)(3)

a=(1)(23) = 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2
u=(1)(2)(3) = 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 2, 3 \mapsto 3
a \circ u = (1)(23) \circ (1)(2)(3) = 1 \mapsto 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3 \mapsto 3, 3 \mapsto 2 \mapsto 2 = (1)(23)

  • 2. Element aus U (123)

a=(1)(23) = 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2
u=(123) = 1 \mapsto 2, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 1
a \circ u = (1)(23) \circ (123) = 1 \mapsto 1 \mapsto 2, 2 \mapsto 3 \mapsto 1, 3 \mapsto 2 \mapsto 3 = (12)(3)

  • 3. Element aus U (132)

a=(1)(23) = 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2
u=(132) = 1 \mapsto 3, 3 \mapsto 2, 2 \mapsto 1
a \circ u = (1)(23) \circ (132) = 1 \mapsto 1 \mapsto 3, 2 \mapsto 3 \mapsto 2, 3 \mapsto 2 \mapsto 1 = (13)(2)

Somit haben wir unsere 2. LNK für U und S_3bestimmt mit den Elementen \{ (1)(23), (12)(3), (13)(2) \}

Normalteiler[Bearbeiten]

Eine Untergruppe ist dann Normalteiler, wenn alle Linksnebenklassen gleich den Rechtsnebenklasen gilt. Mathematisch formuliert a \circ u = u \circ a | a \in S_3 \wedge \forall u \in U. Dafür berechnet man einfach die Rechtsnebenklassen (und die Anzahl der RNK = Anzahl der LNK, wobei U selbst sowohl LNK alsauch RNK ist!) nach dem selben schema wie oben die Linksnebenklasse mit dem einzigen Unterschied, daß man zuerst die Abbildung in u durchführt und dann die von a.

Berechnung RNK u \circ a[Bearbeiten]

Gewähltes a=(1)(23)

  • 1. Element aus U (1)(2)(3)

a=(1)(23) = 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2
u=(1)(2)(3) = 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 2, 3 \mapsto 3
u \circ a = (1)(2)(3) \circ (1)(23) = 1 \mapsto 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 3 \mapsto 2 = (1)(23)

  • 2. Element aus U (123)

a=(1)(23) = 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2
u=(123) = 1 \mapsto 2, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 1
u \circ a = (123) \circ (1)(23) = 1 \mapsto 2 \mapsto 3, 2 \mapsto 3 \mapsto 2, 3 \mapsto 1 \mapsto 1 = (13)(2)

  • 3. Element aus U (132)

a=(1)(23) = 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2
u=(132) = 1 \mapsto 3, 3 \mapsto 2, 2 \mapsto 1
a \circ u = (132) \circ (1)(23) = 1 \mapsto 3 \mapsto 2, 2 \mapsto 1 \mapsto 1, 3 \mapsto 2 \mapsto 3 = (12)(3)

Somit haben wir unsere 2. RNK für U und S_3bestimmt mit den Elementen \{ (1)(23), (12)(3), (13)(2) \} und sehen dabei gleich das sie ident mit der LNK ist. Somit ist U ein Normalteiler von S_3 und man kann die Faktorengruppe bestimmen.

Faktorengruppe[Bearbeiten]

Wenn die Untergruppe U ein Normalteiler von S_3 dann bildet die Menge aller Nebenklassen (in diesem Beispiel gibt es ja nur zwei Nebenklassen, einmal U und dann die zweite errechnete Nebenklasse) eine eigene Gruppe. Somit ist die Faktorengruppe G_F = \{ \{ (1)(2)(3),(123),(132) \},\{ (1)(23), (12)(3), (13)(2) \} \}=
\{ U, (1)(23) \circ U \} = \{ (1)(2)(3) \circ U, (1)(23) \circ U \} . Hat man eine Faktorengruppe kann man alleinig mit ihren Vertretern innerhalb dieser Gruppe rechnen. Die Vertrter sind in diesem Beispiel \{(1)(2)(3),(1)(23)\}. Da es sich hier wieder um eine Gruppe im algebraischen Sinne handelt, müssen auch wieder alle eigenschaften einer Gruppe zutreffen!

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Basierend auf f.thread:38060 !

S_3 besteht aus allen möglichen drei-elementigen Abbildungen, d.h.:

{ (1)(2)(3), (1)(23), (2)(13), (3)(12), (123), (132) }

.

Wenn U eine Untergruppe ist, dann ist S_3 auch eine Gruppe. Die binäre Operation ist die Hintereinanderausführung ist.

Das neutrale Element (1)(2)(3) in \langle S_3, \circ \rangle und somit auch in U.

Wenn U eine Untergruppe ist, muß es das Gruppenkriterium erfüllen. d.h. es muß ein neutrales und inverse Elemente geben.

U = { n=(1)(2)(3), a=(123), a'=(132) }

  • n = neutrales Element
  • a = das Element das U "bildet"
  • a' = die Inverse zu a

Für die Linksnebenklassen (\{a*U | a \in S_3\} ergibt sich:

  • { (1)(23), (2)(13), (3)(12) }

Diese werdem errechnet durch Einsetzen für a \circ u und a \in S_3 und u \in U.

Beispiel:

  • a=(1)(23) = ( 1->1, 2->3, 3->2 )
  • u=(1)(2)(3) = (1->1, 2->2, 3->3 )

Dann ist a \circ u:

  • a \circ u = (1)(23) \circ (1)(2)(3) = (1->1->1, (2->3->3), (3->2->2) = 
(1->1, 2->3, 3->2) = (1)(23)
  • Es ändert sich ja nicht da u ja das neutrales Element ist!

a=(1)(23),* u=(123) = (1->2, 2->3, 3->1)

Dann ist a \circ u:

  • a \circ u = (1)(23) \circ (123) = (1->1->2, 2->3->1, 3->2->3 ) = (1->2, 2->1, 3->3) = (3)(12)

a=(1)(23),* u=(132) = (1->3, 3->2, 2->1)

Dann ist a \circ u:

  • a \circ u = (1)(23) \circ (132) = (1->1->3, 2->3->2, 3->2->1) = (1->3,2->2, 3->1) = (2)(13)

Da laut dem Satz von Lagrange Lagrange |S_3| = |U|*|S_3:U| ist und |S_3| = 6 und |U| = 3, muß |S3:U| = 2 sein.

|S3:U| = 2 ist der Index (Anzahl der Nebenklassen). Daher: Es gibt zwei Nebenklassen, U und die obige LNK, daher braucht man für die anderen möglichen a nicht probieren, da man schon alle Untergruppen hat.

Für den Normalteiler muss gelten: LNK = RNK

Hier macht man für die RNK das selbe wie für die LNK, nur muß man darauf achten, das man zuerst u ausführt und dann erst a.

Dabei stellt man fest, daß hier gilt: LNK = RNK, also ist U ein Normalteiler von S_3.

(Es fehlen noch die Faktorengruppen!)