TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 371

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Es sei eine Untergruppe der Gruppe . Man zeige, dass die Relation eine Äquivalenzrelation auf ist und dass die Äquivalenzklassen von die Linksnebenklassen von in sind.

Hilfreiches[edit]

Äquivalenzrelation:
Eine binäre Relation auf einer Menge heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
1.Reflexivität:
2.Symmetrie:
3.Transitivität:

Äquivalenzklassen:
Sei eine Äquivalenzrelation auf .Für alle heißt die Menge die von erzeugte Äquivalenzklasse.

Lösungsvorschlag von neo[edit]

Wir müssen also zuerst zeigen, dass die Relation eine Äquivalenzrelation ist.

(Die Menge ist ident zur Menge , daher müssen sie in Relation stehen)


(Wenn die Mengen ident sind, folgt logischerweise auch, dass ident sein müssen)


(Wenn die Menge mit ident ist, muss sie auch mit ident sein)

Damit wäre bewiesen, dass eine Äquivalenzrelation auf ist.
Nun müssen wir noch beweisen, dass die Äquivalenzklassen von die Linksnebenklassen von in sind.

Da alle Äquivalenzklassen disjunkt sind (d.h eine Partition auf ) bilden, ergibt deren Vereinigung . Formal aufgeschrieben bedeutet das:
Außerdem gilt, dass die Linksnebenklassen einer Untergruppe ebenso eine Zerlegung von darstellen. Daher müssen die Elemente der Linksnebenklassen ebenso disjunkt sein. Zusammen würden die Elemente, wie vorhin aufgeschrieben, ergeben. Nun muss man das alles noch mathematisch aufschreiben ( steht für Linksnebenklasse nach ).

Ich hoffe das reicht als Beweis aus.