TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 376

Es sei $U$ eine Untergruppe der Gruppe $G$. Man zeige, dass die Relation $a\sim b\Leftrightarrow a\circ U=b\circ U$ eine Äquivalenzrelation auf $G$ ist und dass die Äquivalenzklassen von $\sim$ die Linksnebenklassen von $U$ in $G$ sind.

Hilfreiches

Äquivalenzrelation:
Eine binäre Relation $R$ auf einer Menge $A$ heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
1.Reflexivität:$\forall a\in A:aRa$
2.Symmetrie:$\forall a,b\in A:aRb\Rightarrow bRa$
3.Transitivität:$\forall a,b,c\in A:(aRb\land bRc)\Rightarrow aRc$

Äquivalenzklassen:
Sei $R$ eine Äquivalenzrelation auf $A$.Für alle $a\in A$ heißt die Menge $K(a)=\{b\in A\mid bRa\}$ die von $a$ erzeugte Äquivalenzklasse.

Lösungsvorschlag von neo

Wir müssen also zuerst zeigen, dass die Relation $a\sim b\Leftrightarrow a\circ U=b\circ U$ eine Äquivalenzrelation ist.
$a\sim a\Leftrightarrow a\circ U=a\circ U\,\,\to \,\,reflexiv$
(Die Menge $a\circ U$ ist ident zur Menge $a\circ U$, daher müssen sie in Relation stehen)

$a\sim b\Rightarrow b\sim a:a\circ U=b\circ U\Rightarrow b\circ U=a\circ U\,\,\to \,\,symmetrisch$
(Wenn die Mengen $a\circ U=b\circ U$ ident sind, folgt logischerweise auch, dass $b\circ U=a\circ U$ ident sein müssen)

$(a\sim b)\land (b\sim c)\Rightarrow a\sim c:(a\circ U=b\circ U)\land (b\circ U=c\circ U)\Rightarrow a\circ U=c\circ U\,\,\to \,\,transitiv$
(Wenn die Menge $a\circ U$ mit $b\circ U$ ident ist, muss sie auch mit $c\circ U$ ident sein)

Damit wäre bewiesen, dass $a~b\Leftrightarrow a\circ U=b\circ U$ eine Äquivalenzrelation auf $G$ ist.
Nun müssen wir noch beweisen, dass die Äquivalenzklassen von $\sim$ die Linksnebenklassen von $U$ in $G$ sind.

Da alle Äquivalenzklassen disjunkt sind (d.h. eine Partition auf $G$ bilden), ergibt deren Vereinigung $G$. Formal aufgeschrieben bedeutet das: $\cup _{a\in G}{K(a)}=G$
Außerdem gilt, dass die Linksnebenklassen einer Untergruppe $U$ ebenso eine Zerlegung von $G$ darstellen. Daher müssen die Elemente der Linksnebenklassen ebenso disjunkt sein. Zusammen würden die Elemente, wie vorhin aufgeschrieben, $G$ ergeben. Nun muss man das alles noch mathematisch aufschreiben ($Ln_{a}$ steht für Linksnebenklasse nach $a$).
$\cup _{a\in G}{K(a)}=G\to \forall a,b\in G:a\neq b\Rightarrow \ Ln_{a}\cap Ln_{b}=\emptyset \Rightarrow \cup _{a\in G}{Ln_{a}}=G$
Ich hoffe das reicht als Beweis aus. Anmerkung 2022: Der Beweis der disjunkten Äquivalenzklassen ist nicht aussreichend