TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 373

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Man zeige, daß die von \overline{4} erzeugte Untergruppe U von \langle\mathbb{Z}_{12}, +\rangle ein Normalteiler von \langle\mathbb{Z}_{12}, +\rangle ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe \mathbb{Z}_{12}/U.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Normalteiler
Normalteiler[Bearbeiten, WP, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe N\leq G heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. aN=Na, \forall a\in G. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen \{aN \mid a\in G\} bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe G/N.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Die von 4 erzeugte Untergruppe ist: 4 + n*\mathbb{Z} = \{0,4,8\}.

\langle\overline{4}\rangle = \{n*\overline{a} \mid n\in \mathbb{Z}\} = \{0,4,8\}

Für das Überprüfen, ob es sich um einen Normalteiler handelt, muss man überprüfen ob die Linksnebenklasse = die Rechtsnebenklasse ist.

4 + n*\mathbb{Z} = n*\mathbb{Z} + 4

U = \{0,4,8\}

1+U = \{1,5,9\}

2+U = \{2,6,10\}

3+U = \{3,7,11\}

Gruppentafel der Faktorgruppe:

\begin{array}{c|cccc}
+   & U   & 1+U & 2+U & 3+U \\\hline
U   & U   & 1+U & 2+U & 3+U \\
1+U & 1+U & 2+U & 3+U & U   \\
2+U & 2+U & 3+U & U   & 1+U \\
3+U & 3+U & U   & 1+U & 2+U
\end{array}

Siehe auch:[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: