TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 374

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man zeige, daß die von \overline{5} erzeugte Untergruppe U von \langle\mathbb{Z}_{15}, +\rangle ein Normalteiler von \langle\mathbb{Z}_{15}, +\rangle ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe \mathbb{Z}_{15}/U.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Normalteiler
Normalteiler[Bearbeiten, WP, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe N\leq G heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. aN=Na, \forall a\in G. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen \{aN \mid a\in G\} bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe G/N.

Lösung[Bearbeiten]

Man zeige, dass die von 5 erzeugte Untergruppe U von <Z15, +> Normalteiler ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe Z15 / U.

U = <5> = {0, 5, 10}

U ist Normalteiler, weil <Z15, +> kommutativ ist, und daher die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen müssen.

Nebenklassen:

a := 0 + U = 5 + U = 10 + U = {0, 5, 10}
b := 1 + U = 6 + U = 11 + U = {1, 6, 11}
c := 2 + U = 7 + U = 12 + U = {2, 7, 12}
d := 3 + U = 8 + U = 13 + U = {3, 8, 13}
e := 4 + U = 9 + U = 14 + U = {4, 9, 14}

Verknüpfungstafel:

\begin{array}{c|ccccc}
+ & a&b&c&d&e\\\hline
a & a&b&c&d&e\\
b & b&c&d&e&a\\
c & c&d&e&a&b\\
d & d&e&a&b&c\\
e & e&a&b&c&d
\end{array}

Ist also isomorph zu <Z5,+>

Siehe auch:[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 258
  Beispiel 259
  Beispiel 261

Wikipädia: