TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 375

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Man zeige, daß die von \overline{3} erzeugte Untergruppe U von \langle\mathbb{Z}_{12}, +\rangle ein Normalteiler von \langle\mathbb{Z}_{12}, +\rangle ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe \mathbb{Z}_{12}/U.

Hilfreiches[edit]

Normalteiler
Normalteiler[Bearbeiten, WP, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe N\leq G heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. aN=Na, \forall a\in G. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen \{aN \mid a\in G\} bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe G/N.

Es gilt:

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler, somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden.

Interpretationsvorschlag von Vater Gans[edit]

Da die Addition von Restklassen kommutativ ist, bildet \langle\mathbb{Z}_{12}, +\rangle eine abelsche Gruppe, bei welcher jede Untergruppe einen Normalteiler darstellt.

Lösung von Hochi[edit]

Man zeige, dass die von 3 erzeugte Untergruppe U von <Z12, +> Normalteiler ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe Z12 / U.

U = {0, 3, 6, 9}

U ist Normalteiler, weil <Z12, +> kommutativ ist, und daher die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen müssen.

Nebenklassen:

a := 0 + U = 3 + U = 6 + U = 9 + U = {0, 3, 6, 9 }
b := 1 + U = 4 + U = 7 + U = 10 + U = {1, 4, 7, 10}
c := 2 + U = 5 + U = 8 + U = 11 + U = {2, 5, 8, 11}

Verknüpfungstafel:

\begin{array}{c|ccc}
+ & a&b&c\\\hline
a & a&b&c\\
b & b&c&a\\
c & c&a&b
\end{array}

a = neutrales Element

b ist zu c invers

Links:[edit]

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Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 258
  Beispiel 259
  Beispiel 260