TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 376

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Man zeige: Das Zentrum Z(G) = {x ∈ G | x · y = y · x f¨ur alle y ∈ G} einer Gruppe \langle\mathbb G, *\rangle

ist Normalteiler von G.

Sei Z(G) \neq  \emptyset, da das neutrale Element  e \in Z(G).

Seien weiters  a, b \in Z(G) und daher auch das inverse Element b^{-1} \in Z(G)

Aus der Voraussetzung x \ast y=y \ast x folgt für ein beliebiges  g \in G:

b*g=g*b \Leftrightarrow b^{-1}*g=g*b^{-1}.

Daher gilt auch  g \ast a*b^{-1} = a*g*b^{-1} = a*b^{-1}*g .

Aufgrund des Satzes "Eine Untergruppe H von G ist genau dann Normalteiler, wenn für jedes  h \in H und  g \in G gilt:  g \circ h \circ g^{-1} \in H." ist nun bewiesen, dass Z(G) ein Normalteiler von G ist.

lg f.l.o.