TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 38

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Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von \sqrt[3]{-i} in der Form [r, \varphi].

Lösung nach der Übung vom 29.10.2007:

Durch die Darstellung auf der Gauß'schen Zahlenebene erkennt mann, dass der Winkel -90° ist - dh. \frac{-\pi}{2},

z=0-i dh: a=0, b=-1

r=1

(siehe Erklärung analog mit Hapi weiter unten)

In Polardarstellung lautet \sqrt[3]{-i} in der Form [r, \varphi] = [1,\frac{-\pi}{2} ]

dann muss noch in die folgende Formel eingesetzt werden:

wj = [\sqrt[n]{R}, \frac{\varphi}{n} + \frac{2*\pi*j}{n}]

Das ergibt:

[1, \frac{-\pi}{6}] [1, \frac{\pi}{2}] [1, \frac{7\pi}{6}]

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Da es sich um eine 3-te Wurzel handelt, gibt es drei Lösungen.

Die Koordinaten in der Gaußschen Zahlenebene sind daher: Z = 0 -i (Form a - bi), was 3/2 \pi oder 270 Grad entspricht.

Auch der Betrag von z ist hier einfach: z = \sqrt{0+i^2} = \sqrt{1} = 1 . Der Wert von r ist daher nicht ganz überraschend 1. Das heißt, alle 3 gesuchten Werte liegen am Einheitskreis.

 Z = |Z| * (cos\phi - i.sin\phi) = |Z| * (0 -i)   Leicht mit Angabe nachzuprüfen.
 Z0 = [\sqrt[3] {1}, \frac{3*\pi}{2} + \frac{2*\pi}{3}*0] = [1,\frac{9*\pi}{6} ] 
 Z1 = [\sqrt[3] {1}, \frac{3*\pi}{2} + \frac{2*\pi}{3}*1] = [1,\frac{\pi}{6} ] 
 Z2 = [\sqrt[3] {1}, \frac{3*\pi}{2} + \frac{2*\pi}{3}*2] = [1,\frac{5*\pi}{6} ] 

Hapi

Frage: Sollte man den Startwinkel nicht auch /3 dividieren ? D.h. 2/3pi / 3 = 3/6pi als Z0 und 7/6pi als Z1 und 11/6pi als Z2 ? Schlumie

Ja, da hat Schlumie recht, das würde dann wie folgt aussehen:

 Z0 = [\sqrt[3] {1}, \frac{3*\pi}{6} + \frac{4*\pi}{6}*0] = [1,\frac{3*\pi}{6} ] = [1,\frac{\pi}{2} ] 
 Z1 = [\sqrt[3] {1}, \frac{3*\pi}{6} + \frac{4*\pi}{6}*1] = [1,\frac{7*\pi}{6} ] 
 Z2 = [\sqrt[3] {1}, \frac{3*\pi}{6} + \frac{4*\pi}{6}*2] = [1,\frac{11*\pi}{6} ]  durch den mod 2\pi wird das  [1,\frac{5*\pi}{6} ] = [1,-\frac{\pi}{6} ] 

Dann sind die Ergebnisse gleich denen der Übung vom 29.10

skinner33


Ähnliche Beispiele: 32 - 35.