TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 38

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Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von in der Form .

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Lösung nach der Übung vom 29.10.2007:

Durch die Darstellung auf der Gauß'schen Zahlenebene erkennt mann, dass der Winkel -90° ist - dh. ,

z=0-i dh: a=0, b=-1

r=1

(siehe Erklärung analog mit Hapi weiter unten)

In Polardarstellung lautet in der Form =

dann muss noch in die folgende Formel eingesetzt werden:

wj = [, + ]

Das ergibt:

[1, ] [1, ] [1, ]

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da es sich um eine 3-te Wurzel handelt, gibt es drei Lösungen.

Die Koordinaten in der Gaußschen Zahlenebene sind daher: Z = 0 -i (Form a - bi), was 3/2 oder 270 Grad entspricht.

Auch der Betrag von z ist hier einfach: . Der Wert von r ist daher nicht ganz überraschend 1. Das heißt, alle 3 gesuchten Werte liegen am Einheitskreis.

 Z = |Z| * - i.sin) = |Z| * (0 -i)   Leicht mit Angabe nachzuprüfen.
 Z0 = , 
 Z1 = , 
 Z2 = , 

Hapi

Frage: Sollte man den Startwinkel nicht auch /3 dividieren ? D.h. 2/3pi / 3 = 3/6pi als Z0 und 7/6pi als Z1 und 11/6pi als Z2 ? Schlumie

Ja, da hat Schlumie recht, das würde dann wie folgt aussehen:

 Z0 = , 
 Z1 = , 
 Z2 = ,  durch den mod 2 wird das 

Dann sind die Ergebnisse gleich denen der Übung vom 29.10

skinner33


Ähnliche Beispiele: 32 - 35.