TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 381

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Seien und Gruppenhomomorphismen. Man zeige: ist auch ein Gruppenhomomorphismus.

Lösungsvorschlag[edit]

Die Verkettung von Funktionen ist wie folgt definiert: (Quelle: Wikipedia)

Wir verwenden die Gruppen G, H und K mit den Operationen , und . Ausserdem soll gelten




Da und Gruppenhomomorphismen sind, wissen wir, das die folgenden beiden Gleichungen gelten:



Zu zeigen ist jetzt laut Angabe die folgende Behauptung:


Wenn wir jetzt die Definition der Verkettung einsetzen erhalten wir


Einsetzen der Gleichung für den ersten Gruppenhomomorphismus auf der linken Seite bringt uns auf


Und das diese Gleichung gültig ist, sieht man, wenn man und einsetzt. Dadurch erhält man nämlich nichts anderes als die Gleichung des zweiten Gruppenhomomorphismus.

mfg, W wallner

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