TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 382

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Sei \varphi:G\rightarrow H ein Gruppenhomomorphismus und e das neutrale Element von G. Man zeige, daß \varphi(e) das neutrale Element von H ist. (Hinweis: Man verwende Beispiel 248).

Hilfreiches[Bearbeiten]

Definition:

Seien <G, \circ> und <H, \star> Gruppen.

Eine Abbildung \varphi:G\rightarrow H heißt Homomorphismus, falls gilt: \varphi(a\circ b)=\varphi(a)\star\varphi(b)\quad\forall a,b\in G.

Definition:

e heißt neutrales Element von \circ, wenn \forall a\in M:\quad a\circ e=e\circ a=a

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Weil es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt, gilt

\varphi(a\circ b)=\varphi(a)\star\varphi(b)\quad\forall a,b\in G

Wenn wir jetzt nicht zwei verschiedene Elemente von G miteinander verknüpfen, sondern a = b = e_G setzen, erhalten wir

\varphi(e_G\circ e_G)=\varphi(e_G)\star\varphi(e_G)

\varphi(e_G)=\varphi(e_G)\star\varphi(e_G)

Wir haben also ein Elemtent \varphi(e_G) \in H gefunden, das mit sich selbst verknüpft (mit der Operation \star) wieder sich selbst ergibt. Und wie wir aus Beispiel 248 wissen, muss es deshalb das neutrale Element sein. Also gilt

\varphi(e_G)=e_H

mfg, W wallner

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