TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 390

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Sei (G, *) eine Gruppe. Untersuchen Sie, ob (G \times G, \circ) mit (a, b) \circ (c, d) = (a * c, b * d) ebenfalls eine Gruppe ist.

Lösungsvorschlag von Berti[Bearbeiten]

ACHTUNG: Ich bin mir nicht sicher, ob das mathematisch korrekt ist.

(G, *) ist eine Gruppe. Das heißt es gelten die folgenden Gruppenkriterien (Gruppenaxiome):

  • Abgeschlossen: \forall a, b \in G: a * b \in G
  • Assoziativ: \forall a, b, c \in G : (a * b) * c = a * (b * c)
  • Neutrales Element: \forall a \in G: a * e = e * a = a
  • Für jedes Element gibt es in inverses Element: \forall a \in G \exists a^{-1} \in G: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e

Die Menge G kann man sich vorstellen wie G = \{ a, b, c, \ldots \}, die Menge G \times G wie G \times G = \{ (a, a), (a, b), (a, c), (a, d), \ldots, (b, a), \ldots \}. Das heißt also, die Menge G \times G besteht aus Tupeln, die aus einem Produkt der Menge G mit sich selbst entstehen.

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

Verknüpft man zwei Elemente der Menge G \times G miteinander, so muss das Ergebnis wieder in G \times G liegen. Das heißt, dass z.B. (G \times G, \circ) mit (a, b) \circ (c, d) wieder \in G \times G sein muss. Nachdem a * c \in G und b * d \in G sind, muss es demnach auch das Tupel (a * c, b * d) \in G \times G geben. Dies ergibt sich aus der Eigenschaft, dass (G, *) ja eine Gruppe ist.

Assoziativität[Bearbeiten]

((a, b) \circ (c, d)) \circ (e, f) = (a, b) \circ ((c, d) \circ (e, f))

(a*c, b*d) \circ (e, f) = (a, b) \circ (c*e, d*f)

(a*c*e, b*d*f) = (a*c*e, b*d*f)

Assoziativität ist damit gegeben.

Neutrales Element[Bearbeiten]

(a, b) \circ (e, e) = (e, e) \circ (a, b) = (a*e, b*e) = (a, b)

Nachdem (G, *) eine Gruppe ist, muss a*e \in G bzw. b*e \in G sein, also muss die Existenz eines neutralen Elements gegeben sein. Somit ist auch die Existenz eines neutralen Elements für (G \times G, \circ) gegeben.

Inverses Element[Bearbeiten]

(a, b) \circ (a', b') = (a', b') \circ (a, b) = (a * a', b * b') = (e, e)

Hier ist die Argumentation gleich wie beim neutralen Element. Wir machen uns die Eigenschaft, dass (G, *) eine Gruppe ist zu nutze und argumentieren, dass das somit auch für die neu erzeugte Gruppe gelten muss.

Nachdem alle vier Eigenschaften erfüllt sind, muss es sich bei (G \times G, \circ) auch wieder um eine Gruppe handeln.

-- Berti933 (Diskussion) 20:12, 23. Jan. 2015 (CET)