TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 397

Auf $\mathbb {Z} _{2}^{2}$ sei eine Addition $+_{2}$ komponentenweise definiert, d.h., $(a_{1},a_{2})+_{2}(b_{1},b_{2})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})$. Beweisen Sie, dass $(\mathbb {Z} _{2}^{2},+_{2})$ eine Gruppe ist und geben Sie auch die Operationstafel von $+_{2}$ an.

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Lösungsvorschlag von neo

$\mathbb {Z} _{2}^{2}=\{({\overline {0}},{\overline {0}}),({\overline {0}},{\overline {1}}),({\overline {1}},{\overline {0}}),({\overline {1}},{\overline {1}})\}$

$(({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}({\overline {b_{1}}},{\overline {b_{2}}}))+_{2}({\overline {c_{1}}},{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}}}+{\overline {b_{1}}},{\overline {a_{2}}}+{\overline {b_{2}}})+_{2}({\overline {c_{1}}},{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}}}+{\overline {b_{1}}}+{\overline {c_{1}}},{\overline {a_{2}}}+{\overline {b_{2}}}+{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}+b_{1}+c_{1}}},{\overline {a_{2}+b_{2}+c_{2}}})$

$({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}(({\overline {b_{1}}},{\overline {b_{2}}})+_{2}({\overline {c_{1}}},{\overline {c_{2}}}))=({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}({\overline {b_{1}}}+{\overline {c_{1}}},{\overline {b_{2}}}+{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}}}+{\overline {b_{1}}}+{\overline {c_{1}}},{\overline {a_{2}}}+{\overline {b_{2}}}+{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}+b_{1}+c_{1}}},{\overline {a_{2}+b_{2}+c_{2}}})$
$\Rightarrow assoziativ$

$+_{2}$	$({\overline {0}},{\overline {0}})$	$({\overline {0}},{\overline {1}})$	$({\overline {1}},{\overline {0}})$	$({\overline {1}},{\overline {1}})$
$({\overline {0}},{\overline {0}})$	$({\overline {0}},{\overline {0}})$	$({\overline {0}},{\overline {1}})$	$({\overline {1}},{\overline {0}})$	$({\overline {1}},{\overline {1}})$
$({\overline {0}},{\overline {1}})$	$({\overline {0}},{\overline {1}})$	$({\overline {0}},{\overline {0}})$	$({\overline {1}},{\overline {1}})$	$({\overline {1}},{\overline {0}})$
$({\overline {1}},{\overline {0}})$	$({\overline {1}},{\overline {0}})$	$({\overline {1}},{\overline {1}})$	$({\overline {0}},{\overline {0}})$	$({\overline {0}},{\overline {1}})$
$({\overline {1}},{\overline {1}})$	$({\overline {1}},{\overline {1}})$	$({\overline {1}},{\overline {0}})$	$({\overline {0}},{\overline {1}})$	$({\overline {0}},{\overline {0}})$

Aus der Operationstafel kann man herauslesen, dass jede Verknüpfung mit $+_{2}$ immer in $\mathbb {Z} _{2}^{2}$ bleibt. $\Rightarrow abgeschlossen$

$\forall {\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}}\in \mathbb {Z} _{2}^{2}:({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}({\overline {0}},{\overline {0}})=({\overline {a_{1}}}+{\overline {0}},{\overline {a_{2}}}+{\overline {0}})=({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})\to e=({\overline {0}},{\overline {0}})\Rightarrow neutrales\,Element$

$\forall {\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}}\in \mathbb {Z} _{2}^{2}:\exists ({\overline {b_{1}}},{\overline {b_{2}}})\in \mathbb {Z} _{2}^{2}:({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}({\overline {b_{1}}},{\overline {b_{2}}})=({\overline {0}},{\overline {0}})\to {\overline {b_{1}}}=({\overline {a_{1}}})^{-1},{\overline {b_{2}}}=({\overline {a_{2}}})^{-1}\Rightarrow inverse\,Elemente$
(Das inverse Element ist immer die Restklasse selber d.h $({\overline {0}})^{-1}={\overline {0}},({\overline {1}})^{-1}={\overline {1}}$)