TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 393

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Von der Abbildung f: (\mathbb{Z}_3)^2 \rightarrow (\mathbb{Z}_3)^4 sei bekannt, daß f ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass


\begin{align}
f(0,1) = (0,1,1,2)\\
f(1,0) = (1,0,2,0)
\end{align}
.

Man ermittle f (w) für alle w Element von (\mathbb{Z}_3)^2.

Lösungsvorschlag von Neverlasting[Bearbeiten]

Wir haben einen Gruppenhomomorphismus f zwischen den beiden Gruppen ((\mathbb{Z}_3)^2, +) und ((\mathbb{Z}_3)^4, +). Da f ein Homomorphismus ist, gilt per Definition:

f(a) + f(b) = f(a + b)

Sei nun a = (0,1) und b = (1,0). Es gilt:


\begin{align}
f(a + b) &= f(a) + f(b)\\

f((0,1) + (1,0)) &= f(0,1) + f(1,0)\\

f(1,1) &= f((0,1) + (1,0)) = f(0,1) + f(1,0)
\end{align}

Wir erhalten also durch Addieren der bereits bekannten Funktionswerte, nämlich für (0,1) und (1,0), den Funktionswert, der durch das Urbild (1,1) entsteht. Auf diese Weise lassen sich die Funktionswerte für alle möglichen Urbilder ermitteln. Man beachte, dass das Addieren stets komponentenweise erfolgt und modulo 3 gerechnet wird.


\begin{align}
f(0,2) = f(0,1) + f(0,1) = (0,1,1,2) + (0,1,1,2) = (0,2,2,1)\\

f(1,1) = f(0,1) + f(1,0) = (0,1,1,2) + (1,0,2,0) = (1,1,0,2)\\

f(1,2) = f(1,1) + f(0,1) = (1,1,0,2) + (0,1,1,2) = (1,2,1,1)\\

f(2,0) = f(1,0) + f(1,0) = (1,0,2,0) + (1,0,2,0) = (2,0,1,0)\\

f(2,1) = f(1,1) + f(1,0) = (1,1,0,2) + (1,0,2,0) = (2,1,2,2)\\

f(2,2) = f(1,1) + f(1,1) = (1,1,0,2) + (1,1,0,2) = (2,2,0,1)\\

f(0,0) = f(2,2) + f(1,1) = (2,2,0,1) + (1,1,0,2) = (0,0,0,0)
\end{align}

Letzteres ist übrigens nicht sehr verwunderlich, da durch jeden Homomorphismus von G nach H das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H abgebildet wird.