TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 395

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Von der Abbildung f : \left( \mathbb{Z}_3 \right)^2 \rightarrow \left( \mathbb{Z}_3 \right)^4 sei bekannt, dass f ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass f \left( 1, 0 \right) = \left( 1, 0, 0, 2 \right), f \left( 1, 1 \right) = \left( 1, 2, 0, 1 \right). Man ermittle daraus f \left( w \right) für alle w \in \left( \mathbb{Z}_3 \right)^2

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Da f ein Homomorphismus ist gilt folgendes:

f \left( x + y \right) = f \left( x \right) + f \left( y \right)

Beispiel:

f \left(2, 1 \right) = f \left( \left(1, 0 \right) + \left( 1, 1 \right) \right) = f \left( 1, 0 \right) + f \left( 1, 1 \right) = \left( 1, 0, 0, 2 \right) + \left( 1, 2, 0, 1 \right) = \left( 2, 2, 0, 0 \right).

Durch die bereits bekannten Funktionswerte kann man also die anderen berechnen. f \left( w \right) kann man z.B. wie folgt berechnen:

f \left(0, 0 \right) = f \left( \left( 1, 1 \right) + \left( 1, 1 \right) + \left( 1, 1 \right) \right)= f \left( 1, 1 \right) + f \left( 1, 1 \right) + f \left( 1, 1 \right) = \left( 1, 2, 0, 1 \right) + \left( 1, 2, 0, 1 \right) + \left( 1, 2, 0, 1 \right) = \left( 0, 0, 0, 0 \right).

f \left( 0, 1 \right) = f \left( \left(1, 1 \right) + \left( 1, 0 \right) + \left( 1, 0 \right) \right)= f \left( 1, 1 \right) + f \left( 1, 0 \right) + f \left( 1, 0 \right) = \left( 1, 2, 0, 1 \right) + \left( 1, 0, 0, 2 \right) + \left( 1, 0, 0, 2 \right) = \left( 0, 2, 0, 2 \right).

f \left( 0, 2 \right) = f \left( \left(0, 1 \right) + \left( 0, 1 \right) \right) = f \left( 0, 1 \right) + f \left( 0, 1 \right) = \left( 0, 2, 0, 2 \right) + \left( 0, 2, 0, 2 \right) = \left( 0, 1, 0, 1 \right).

f \left( 1, 0 \right) = \left( 1, 0, 0, 2 \right)

f \left( 1, 1 \right) = \left( 1, 2, 0, 1 \right)

f \left( 1, 2 \right) = f \left( \left(0, 1 \right) + \left( 1, 1 \right) \right) = f \left( 0, 1 \right) + f \left( 1, 1 \right) = \left( 0, 2, 0, 2 \right) + \left( 1, 2, 0, 1 \right) = \left( 1, 1, 0, 0 \right)

f \left( 2, 0 \right) = f \left( \left(1, 0 \right) + \left( 1, 0 \right) \right) = f \left( 1, 0 \right) + f \left( 1, 0 \right) = \left( 1, 0, 0, 2 \right) + \left( 1, 0, 0, 2 \right) = \left( 2, 0, 0, 1 \right)

f \left(2, 1 \right) = f \left( \left(1, 0 \right) + \left( 1, 1 \right) \right) = f \left( 1, 0 \right) + f \left( 1, 1 \right) = \left( 1, 0, 0, 2 \right) + \left( 1, 2, 0, 1 \right) = \left( 2, 2, 0, 0 \right)

f \left( 2, 2 \right) = f \left( \left(1, 1 \right) + \left( 1, 1 \right) \right) = f \left( 1, 1 \right) + f \left( 1, 1 \right) = \left( 1, 2, 0, 1 \right) + \left( 1, 2, 0, 1 \right) = \left( 2, 1, 0, 2 \right)