TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 398

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Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 16, d.h. alle Restklassen \overline{a} mit ggT(a, 16)=1. Man zeige, daß die Menge \Gamma_{16} dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppe
Gruppe[Bearbeiten]

Eine Gruppe (G, \circ) ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation \circ in G,
  • assoziativ: \forall a,b,c\in G:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c,
  • beinhaltet ein neutrales Element e: \quad\forall a:\quad a\circ e=a
  • sowie inverse Elemente: \forall a\quad\exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\Gamma_{16} = \{1,3,5,7,9,11,13,15\}

Überprüfen ob (\Gamma_{16},*) wieder eine Gruppe ist:

  • Abgeschlossen: Ungerade * Ungerade = Ungerade, daher ist diese algebraische Struktur abgeschlossen (zumindest Gruppoid)
  • Assoziativ: Da Z_{16} eine Gruppe bildet braucht man das Assoziativgesetz nicht überprüfen (zumindest Halbgruppe)
  • Existens eine neutralen Elements: 1 (zumindest Monoid)
  • Inverses Element: (1,1), (3,11), (5,13), (7,7), (9,9,) (15,15) (tatsächlich Gruppe)

\Gamma_{16} ist sogar eine abelsche Gruppe, da es kommutativ ist!

Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: