TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 399

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 18, d.h. alle Restklassen \overline{a} mit ggT(a, 18)=1. Man zeige, daß die Menge \Gamma_{18} dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppe
Gruppe[Bearbeiten]

Eine Gruppe (G, \circ) ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation \circ in G,
  • assoziativ: \forall a,b,c\in G:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c,
  • beinhaltet ein neutrales Element e: \quad\forall a:\quad a\circ e=a
  • sowie inverse Elemente: \forall a\quad\exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e.

Lösungsvorschlag Hapi[Bearbeiten]

\Gamma_{18}= {1,5,7,11,13,17}

(Anmerkung: 2 und 3 teilen 2,4,6,8,10,12,14 und 16!)

Operationstafel:

\begin{array}{c|cccccccc}
*  & 1&5&7&11&13&17\\\hline
 1 & 1&5&7&11&13&17\\
 5 & 5&7&17&1&11&13\\
 7 & 7&17&13&5&1&11\\
11 & 11&1&5&13&17&7\\
13 & 13&11&1&17&7&5\\
17 & 17&13&11&7&5&1
\end{array}

Hieraus kann man ablesen:

  • Die Operation ist abgeschlossen
  • \exists neutrales Element ("1")
  • \forall Elemente \exists inverses Element (in allen Zeilen/Spalten kommt "1" vor)

Da \Gamma_{18}<\mathbb Z und Assoziativität schon in \mathbb Z gegeben ist, auch in \Gamma_{18}.

Alle Gruppenbedingungen sind erfüllt.

Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: