TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 4

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

 \sum_{j=2}^{n} j(j-1) = \frac{(n-1)n(n+1)}{3} \qquad ( n \geq 2 )

Induktionsanfang:  n = 2

Ergibt

 2(2-1) = \frac{(2-1)2(2+1)}{3}

 2 = \frac{1*2*3}{3}

Induktionsannahme:

 \sum_{j=2}^{n} j(j-1) = \frac{(n-1)n(n+1)}{3} \qquad

Induktionsvorraussetzung/Induktionsbehauptung: Es muss gezeigt werden dass gilt:

 \sum_{j=2}^{n+1} j(j-1) = \frac{(n)(n+1)(n+2)}{3}

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsvorraussetzung)

Die rechte Seite wird mit (n+1)(n+1-1) addiert. Im folgenden wird nur die rechte Seite gerechnet - es soll sich ergeben:  \frac{(n)(n+1)(n+2)}{3}

 \frac{(n-1)n(n+1)}{3} + (n+1)(n) =

 = \frac{(n-1)n(n+1) + 3(n+1)(n)}{3} =

 = \frac{n((n-1)(n+1) + 3(n+1))}{3} =

 = \frac{n(n+1)((n-1) + 3)}{3} =

 = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

Q.e.d.

Ergänzung: linke Seite

 \sum_{j=2}^{n+1} j(j-1)=  \sum_{j=2}^{n} j(j-1)+ n(n+1)