TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 405

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Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

M = \lbrace 0,1,2 \rbrace mit der Addition modulo 3 und dem Produkt a \cdot b = 1 für alle a,b \in M.

Anmerkung[Bearbeiten]

Lösung ist von Beispiel 317 übernommen, nur für die etwas geänderte Angabe angepasst

Hilfreiches[Bearbeiten]

Ring[Bearbeiten]

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur (R,+,\cdot) ist ein Ring, wenn:

  • (R,+) ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
  • (R,\cdot) ist eine Halbgruppe,
  • es gelten die Distributivgesetze:
    • a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c
    • (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

Ring mit Einselement[Bearbeiten]

  • (R, \cdot) besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring[Bearbeiten]

  • (R, \cdot) ist kommutativ

Integritätsring[Bearbeiten]

(Definition 2.64)

  • kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler

Körper[Bearbeiten]

(Definition 2.66)

  • Integritätsring mit multiplikative Inversen \forall a \in R

Gruppe[Bearbeiten]

(Definition 2.37)

  • Halbgruppe
    • assoziativ
  • Monoid
    • assoziativ, neutrales Element
  • Gruppe
    • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
  • abelsche Gruppe
    • assoziativ, neutrales Element, inverses Element

(Definition 2.34)

  • assoziativ
    • (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
  • neutrales Element
    • e \circ a = a \circ e = a
  • inverses Element
    • a \circ a' = a' \circ a = e
  • kommutativ
    • a \circ b = b \circ a

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET) angepasst von --MatheFreak 23:12, 15. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

(M, +)[Bearbeiten]

Jetzt überprüfen wir, ob (R, +) eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 3!) *Edit peter1058: von modulo 2 auf modulo 3 geändert --> Angabe!

Operationstafel:


\begin{array}{c|ccc}
+&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}\\\hline
\overline{0}&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}\\
\overline{1}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{0}\\
\overline{2}&\overline{2}&\overline{0}&\overline{1}\\
\end{array}

Assoziativ?[Bearbeiten]

(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)

(\overline{0} \circ \overline{1}) \circ \overline{2} = \overline{0} \circ (\overline{1} \circ \overline{2})

\overline{1} \circ \overline{2} = \overline{0} \circ \overline{0}

\overline{0} = \overline{0} w.A.

neutrales Element?[Bearbeiten]

e \circ a = a \circ e = a

e:=\overline{0}, a:=\overline{1}

\overline{0} \circ \overline{1} = \overline{1} \circ \overline{0} = \overline{1}

1 = 1 = 1 w.A.

inverse Elemente?[Bearbeiten]

a \circ a' = a' \circ a = e

Null ist neutrale Element und daher automatisch zu sich selbst invers.

a:=\overline{1}, a':=\overline{2}

\overline{1} \circ \overline{2} = \overline{2} \circ \overline{1} = \overline{0}

\overline{0} = \overline{0} = \overline{0} w.A.

\Rightarrow \overline{1} \text{ ist das inverse zu } \overline{2} \text{ und } \overline{2} \text{ ist das Inverse zu } \overline{1}

\Rightarrow \exists a^{-1} \forall a \in M (zu alle Elementen in M existiert auch ein Inverses)

kommutativ?[Bearbeiten]

a \circ b = b \circ a

a:=\overline{0}, b:=\overline{1}

\overline{0} \circ \overline{1} = \overline{1} \circ \overline{0}

 \overline{1} = \overline{1} w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: (M, +) ist eine abelsche Gruppe

(M, \cdot )[Bearbeiten]

Jetzt müssen wir überprüfen, ob (M, \cdot) eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:


\begin{array}{c|ccc}
\cdot&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}\\\hline
\overline{0}&\overline{1}&\overline{1}&\overline{1}\\
\overline{1}&\overline{1}&\overline{1}&\overline{1}\\
\overline{2}&\overline{1}&\overline{1}&\overline{1}\\
\end{array}

Da a \cdot b = 1 \forall a,b \in M

Assoziativ?[Bearbeiten]

(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)

(\overline{0} \circ \overline{1}) \circ \overline{2} = \overline{0} \circ (\overline{1} \circ \overline{2})

\overline{1} \circ \overline{2} = \overline{1} \circ \overline{2}

\overline{1} = \overline{1} w.A.

Distributivgesetze[Bearbeiten]

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

\overline{0} \cdot (\overline{1} + \overline{2}) = \overline{0} \cdot \overline{1} + \overline{0} \cdot \overline{2}

\overline{0} \cdot \overline{0} = \overline{1} + \overline{1}

\overline{1} = \overline{2} f.A.

\Rightarrow es ist nicht distributiv, daher kann es kein Ring und in weiterer Folge auch kein Integritätsring oder Körper sein