TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 406

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

M = \mathbb{Q}[\sqrt{5}] = \{a + b*\sqrt{5} | a,b \in \mathbb{Q}\} mit der Addition und Multiplikation aus \mathbb{R}.

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Für die Addition[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

(w + x*\sqrt{5}) + ( y + z*\sqrt{5}) = (w + y) + (x + z)*\sqrt{5}

w + y \in \mathbb{Q}, x + z \in \mathbb{Q} \qquad \Rightarrow abgeschlossen

Assoziativität[Bearbeiten]

\begin{align} a \circ (b \circ c) &= (a \circ b) \circ c \\ \end{align}

  • a = (u + v* \sqrt{5})
  • b= (w + x* \sqrt{5})
  • c= (y + z* \sqrt{5})

\begin{align}(u+v*\sqrt{5}) + ((w+x*\sqrt{5}) + (y+z*\sqrt{5})) &= ((u+v*\sqrt{5} + (w+x*\sqrt{5})) + (y+z*\sqrt{5})\\ 
(u+w+y) + (v+x+z)*\sqrt{5} &= (u+w+y) + (v+x+z)*\sqrt{5}
\end{align}

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Nullelement)[Bearbeiten]

e = 0 + 0*\sqrt{5} = 0

Inverses Element[Bearbeiten]

(x + y*\sqrt{5})' = (-x) + (-y)*\sqrt{5}


Kommutativität[Bearbeiten]

trivial


Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.


Für die Multiplikation[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

(w + x*\sqrt{5})*( y + z*\sqrt{5}) = w*y + w*z*\sqrt{5} + y*x*\sqrt{5} + 5*x*z = \underbrace{(w*y + 5*x*z)}_{\in \mathbb{Q}} + \underbrace{((w*z + y*x)}_{\in \mathbb{Q}}*\sqrt{5})

abgeschlossen

Assoziativität[Bearbeiten]

trivial. Ist gegeben.


Neutrales Element[Bearbeiten]

e = 1 + 0*\sqrt{5}


Inverses Element[Bearbeiten]

\begin{align} (x + y*\sqrt{5})*(x' + y'*\sqrt{5}) &= 1 + 0*\sqrt{5} \\ x' + y'*\sqrt{5} &= \frac{1 + 0*\sqrt{5}}{x + y*\sqrt{5}} \\ x' + y'*\sqrt{5} &= \frac{(1 + 0*\sqrt{5})*(x-y*\sqrt{5})}{x^2 - 5*y^2}\\ \end{align}

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

\begin{align}x^2 &= 5*y^2 \\x &= \pm \sqrt{5} * y\\ \end{align}

und dies ist unmöglich, da x ein Element der rationalen Zahlen ist

Kommutativität[Bearbeiten]

trivial

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Anmerkung Jan: Wie kann eine Abelsche Gruppe vorliegen wenn es laut der Lösung gar kein inverses Element gibt? Müsste es sich hierbei nicht um ein kommutatives Monoid handeln?

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt ein Körper für \langle M, +, * \rangle vor.

Anmerkung Jan: Um nachzuweisen dass es sich um einen Ring handelt muss gezeigt werden dass die Distributivgesetze für die Struktur gelten, dies ist im vorliegenden Lösungsweg aber nicht erfolgt. Um in einem zweiten Schritt nachzuweisen dass es sich um einen Körper handelt, müssen alle Elemente der Struktur eine Einheit sein, also ein multiplikativ inveses besitzen; auch dies ist im vorliegenden Lösungsweg nicht erfolgt.

Webressourcen[Bearbeiten]

  Beispiel 286
  Beispiel 287
  Beispiel 289
  Beispiel 290
  Beispiel 291
  Beispiel 292
  Beispiel 293

Anmerkung von BarFoos[Bearbeiten]

Ich würde die Existenz eines neutralen Elements nicht so trivial angeben. Per Def. muss ein neutrales Element folgendes erfüllen: a \circ e = e \circ a = a. Das heißt:

a + e = e + a = a

(a + b \sqrt{5}) + e = (a + b \sqrt{5}) mit a,b \in \mathbb{Q} (per Def.)

e = 0