TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 408

Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

$M = \mathbb{Q}[\sqrt{7}] = \{a + b*\sqrt{7} | a,b \in \mathbb{Q}\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb{R}$.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w + x*\sqrt{7}) + ( y + z*\sqrt{7}) = (w + y) + (x + z)*\sqrt{7})$

w + y $\in \mathbb{Q}$, x + z $\in \mathbb{Q} \qquad \Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

$\begin{align} a \circ (b \circ c) &= (a \circ b) \circ c \\ \end{align}$

• $a = (u + v* \sqrt{7})$
• $b= (w + x* \sqrt{7})$
• $c= (y + z* \sqrt{7})$

$\begin{align}(u+v*\sqrt{7}) + ((w+x*\sqrt{7}) + (y+z*\sqrt{7})) &= ((u+v*\sqrt{7}) + (w+x*\sqrt{7})) + (y+z*\sqrt{7})\\ (u+w+y) + (v+x+z)*\sqrt{7} &= (u+w+y) + (v+x+z)*\sqrt{7} \end{align}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)

$e = 0 + 0*\sqrt{7} = 0$

Inverses Element

$(x + y*\sqrt{7})' = (-x) + (-y)*\sqrt{7}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w + x*\sqrt{7})*( y + z*\sqrt{7}) = w*y + w*z*\sqrt{7} + y*x*\sqrt{7} + 7*x*z = \underbrace{(w*y + 7*x*z)}_{\in \mathbb{Q}} + \underbrace{(w*z + y*x)}_{\in \mathbb{Q}}*\sqrt{7}$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e = 1 + 0*\sqrt{7}$

Inverses Element

$\begin{align} (x + y*\sqrt{7})*(x' + y'*\sqrt{7}) &= 1 + 0*\sqrt{7} \\ x' + y'*\sqrt{7} &= \frac{1}{x + y*\sqrt{7}} \\ x' + y'*\sqrt{7} &= \frac{1}{x + y*\sqrt{7}}*\frac{x - y*\sqrt{7}}{x - y*\sqrt{7}} \\ x' + y'*\sqrt{7} &= \frac{x-y*\sqrt{7}}{x^2 - 7*y^2}\\ x' + y'*\sqrt{7} &= \frac{x}{x^2 - 7*y^2}-\frac{y}{x^2 - 7*y^2}*\sqrt{7}\\ \end{align}$

Da x' und y' aus Q sind, muss $x'=\frac{x}{x^2 - 7*y^2}$ und $y'=-\frac{y}{x^2 - 7*y^2}$ gelten. Somit sind x' und y' festgestellt, und jedes element aus M hat ein Inverses, ausser $0+0*\sqrt{7}$ was genug ist, damit M Körper genannt werden kann.

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

$\begin{align}x^2 &= 7*y^2 \\x &= \pm \sqrt{7} * y\\ \end{align}$

Anmerkung:
$0 \in M$ da,
$0 + 0 * \sqrt{7}$
0 hat jedoch kein inverses Element in $\langle M, * \rangle$
!Die existenz eines inversen Elements von $\langle M, * \rangle$ bezüglich $\langle M, +, * \rangle$ ist KEINE Vorraussetzung für einen Körper. Siehe S.82 in Drmotas "Mathematik für Informatik" (ISBN 9783885381174), nach der Definition 2.66: "Eine algebraische Struktur (K,+,*) ist also genau dann ein Körper, wenn (K,+) und (K\{0},*),*) kommutative Gruppen sind und die Distributivgesetze gelten." --Irfy 03:24, 14. Jan. 2010 (CET)

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $\langle M, +, * \rangle$ vor.

Webressourcen

• f.thread:30759&highlight=Ringe+Addition+Multiplikation
• http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426/Mathebeispiele/linalg_021.pdf
• http://www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=4042&d=1101136063
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