TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 408

Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

$M=\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]=\{a+b*{\sqrt {7}}|a,b\in \mathbb {Q} \}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {7}})+(y+z*{\sqrt {7}})=(w+y)+(x+z)*{\sqrt {7}})$

w + y $\in \mathbb {Q}$, x + z $\in \mathbb {Q} \qquad \Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

${\begin{aligned}a\circ (b\circ c)&=(a\circ b)\circ c\\\end{aligned}}$

• $a=(u+v*{\sqrt {7}})$
• $b=(w+x*{\sqrt {7}})$
• $c=(y+z*{\sqrt {7}})$

${\begin{aligned}(u+v*{\sqrt {7}})+((w+x*{\sqrt {7}})+(y+z*{\sqrt {7}}))&=((u+v*{\sqrt {7}})+(w+x*{\sqrt {7}}))+(y+z*{\sqrt {7}})\\(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {7}}&=(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {7}}\end{aligned}}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)

$e=0+0*{\sqrt {7}}=0$

Inverses Element

$(x+y*{\sqrt {7}})'=(-x)+(-y)*{\sqrt {7}}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {7}})*(y+z*{\sqrt {7}})=w*y+w*z*{\sqrt {7}}+y*x*{\sqrt {7}}+7*x*z=\underbrace {(w*y+7*x*z)} _{\in \mathbb {Q} }+\underbrace {(w*z+y*x)} _{\in \mathbb {Q} }*{\sqrt {7}}$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e=1+0*{\sqrt {7}}$

Inverses Element

${\begin{aligned}(x+y*{\sqrt {7}})*(x'+y'*{\sqrt {7}})&=1+0*{\sqrt {7}}\\x'+y'*{\sqrt {7}}&={\frac {1}{x+y*{\sqrt {7}}}}\\x'+y'*{\sqrt {7}}&={\frac {1}{x+y*{\sqrt {7}}}}*{\frac {x-y*{\sqrt {7}}}{x-y*{\sqrt {7}}}}\\x'+y'*{\sqrt {7}}&={\frac {x-y*{\sqrt {7}}}{x^{2}-7*y^{2}}}\\x'+y'*{\sqrt {7}}&={\frac {x}{x^{2}-7*y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}-7*y^{2}}}*{\sqrt {7}}\\\end{aligned}}$

Da x' und y' aus Q sind, muss $x'={\frac {x}{x^{2}-7*y^{2}}}$ und $y'=-{\frac {y}{x^{2}-7*y^{2}}}$ gelten. Somit sind x' und y' festgestellt, und jedes element aus M hat ein Inverses, ausser $0+0*{\sqrt {7}}$ was genug ist, damit M Körper genannt werden kann.

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

${\begin{aligned}x^{2}&=7*y^{2}\\x&=\pm {\sqrt {7}}*y\\\end{aligned}}$

Anmerkung:
$0\in M$ da,
$0+0*{\sqrt {7}}$
0 hat jedoch kein inverses Element in $\langle M,*\rangle$
!Die existenz eines inversen Elements von $\langle M,*\rangle$ bezüglich $\langle M,+,*\rangle$ ist KEINE Vorraussetzung für einen Körper. Siehe S.82 in Drmotas "Mathematik für Informatik" (ISBN 9783885381174), nach der Definition 2.66: "Eine algebraische Struktur (K,+,*) ist also genau dann ein Körper, wenn (K,+) und (K\{0},*),*) kommutative Gruppen sind und die Distributivgesetze gelten." --Irfy 03:24, 14. Jan. 2010 (CET)

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $\langle M,+,*\rangle$ vor.

Webressourcen

• f.thread:30759&highlight=Ringe+Addition+Multiplikation
• http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426/Mathebeispiele/linalg_021.pdf
• http://www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=4042&d=1101136063
• Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 286
  Beispiel 287
  Beispiel 288
  Beispiel 289
  Beispiel 291
  Beispiel 292
  Beispiel 293