TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 408

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Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

M = \mathbb{Q}[\sqrt{7}] = \{a + b*\sqrt{7} | a,b \in \mathbb{Q}\} mit der Addition und Multiplikation aus \mathbb{R}.

Angabe[Bearbeiten]

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Für die Addition[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

(w + x*\sqrt{7}) + ( y + z*\sqrt{7}) = (w + y) + (x + z)*\sqrt{7})

w + y \in \mathbb{Q}, x + z \in \mathbb{Q} \qquad \Rightarrow abgeschlossen

Assoziativität[Bearbeiten]

\begin{align} a \circ (b \circ c) &= (a \circ b) \circ c \\ \end{align}

  • a = (u + v* \sqrt{7})
  • b= (w + x* \sqrt{7})
  • c= (y + z* \sqrt{7})

\begin{align}(u+v*\sqrt{7}) + ((w+x*\sqrt{7}) + (y+z*\sqrt{7})) &= ((u+v*\sqrt{7}) + (w+x*\sqrt{7})) + (y+z*\sqrt{7})\\ 
(u+w+y) + (v+x+z)*\sqrt{7} &= (u+w+y) + (v+x+z)*\sqrt{7}
\end{align}

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)[Bearbeiten]

e = 0 + 0*\sqrt{7} = 0


Inverses Element[Bearbeiten]

(x + y*\sqrt{7})' = (-x) + (-y)*\sqrt{7}


Kommutativität[Bearbeiten]

trivial


Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.


Für die Multiplikation[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

(w + x*\sqrt{7})*( y + z*\sqrt{7}) = w*y + w*z*\sqrt{7} + y*x*\sqrt{7} + 7*x*z = \underbrace{(w*y + 7*x*z)}_{\in \mathbb{Q}} + \underbrace{(w*z + y*x)}_{\in \mathbb{Q}}*\sqrt{7}

abgeschlossen

Assoziativität[Bearbeiten]

trivial. Ist gegeben.


Neutrales Element[Bearbeiten]

e = 1 + 0*\sqrt{7}


Inverses Element[Bearbeiten]

\begin{align}
(x + y*\sqrt{7})*(x' + y'*\sqrt{7}) &= 1 + 0*\sqrt{7} \\
x' + y'*\sqrt{7} &= \frac{1}{x + y*\sqrt{7}} \\
x' + y'*\sqrt{7} &= \frac{1}{x + y*\sqrt{7}}*\frac{x - y*\sqrt{7}}{x - y*\sqrt{7}} \\
x' + y'*\sqrt{7} &= \frac{x-y*\sqrt{7}}{x^2 - 7*y^2}\\
x' + y'*\sqrt{7} &= \frac{x}{x^2 - 7*y^2}-\frac{y}{x^2 - 7*y^2}*\sqrt{7}\\
\end{align}

Da x' und y' aus Q sind, muss x'=\frac{x}{x^2 - 7*y^2} und y'=-\frac{y}{x^2 - 7*y^2} gelten. Somit sind x' und y' festgestellt, und jedes element aus M hat ein Inverses, ausser 0+0*\sqrt{7} was genug ist, damit M Körper genannt werden kann.

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

\begin{align}x^2 &= 7*y^2 \\x &= \pm \sqrt{7} * y\\ \end{align}

Anmerkung:
0 \in M da,
0 + 0 * \sqrt{7}
0 hat jedoch kein inverses Element in \langle M, * \rangle
!Die existenz eines inversen Elements von \langle M, * \rangle bezüglich \langle M, +, * \rangle ist KEINE Vorraussetzung für einen Körper.
Siehe S.82 in Drmotas "Mathematik für Informatik" (ISBN 9783885381174), nach der Definition 2.66: "Eine algebraische Struktur (K,+,*) ist also genau dann ein Körper, wenn (K,+) und (K\{0},*),*) kommutative Gruppen sind und die Distributivgesetze gelten." --Irfy 03:24, 14. Jan. 2010 (CET)

Kommutativität[Bearbeiten]

trivial

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.


Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt ein Körper für \langle M, +, * \rangle vor.


Webressourcen[Bearbeiten]

  Beispiel 286
  Beispiel 287
  Beispiel 288
  Beispiel 289
  Beispiel 291
  Beispiel 292
  Beispiel 293