TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 416

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Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

mit der Addition und Multiplikation aus .

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Addition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

w + y , x + z abgeschlossen

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

trivial


Okay Gitti


Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.


Für die Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

abgeschlossen

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

trivial. Ist gegeben.


Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da x' und y' aus Q sind, muss und gelten. Somit sind x' und y' festgestellt, und jedes element aus M hat ein Inverses, ausser was genug ist, damit M Körper genannt werden kann.

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

Anmerkung:
da,

0 hat jedoch kein inverses Element in
!Die existenz eines inversen Elements von bezüglich ist KEINE Vorraussetzung für einen Körper.
Siehe S.82 in Drmotas "Mathematik für Informatik" (ISBN 9783885381174), nach der Definition 2.66: "Eine algebraische Struktur (K,+,*) ist also genau dann ein Körper, wenn (K,+) und (K\{0},*),*) kommutative Gruppen sind und die Distributivgesetze gelten." --Irfy 03:24, 14. Jan. 2010 (CET)

Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

trivial

Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.


Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es liegt ein Körper für vor.


Webressourcen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  Beispiel 286
  Beispiel 287
  Beispiel 288
  Beispiel 289
  Beispiel 291
  Beispiel 292
  Beispiel 293