TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 422

Gibt es eine Menge $K$ mit $R\subsetneq K\subsetneq C$, die mit der üblichen Addition bzw. Multiplikation einen Körper bildet? (Begründung!)

Lösungsvorschlag von neo

Erweitert man die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit höchstens einer komplexen Zahl $a+bi\in \mathbb {C}$, so gilt weiterhin $\mathbb {R} \subsetneq K=\{\mathbb {R} \cup \{a+bi\}\}\subsetneq \mathbb {C}$.
Aufgrund der Eigenschaften eines Körpers muss es Zahlen geben mit $(a+bi)+(a_{1}+b_{1}i)=0$ bzw. $(a+bi)(a_{2}+b_{2}i)=1$.
Des Weiteren gilt bei einem Körper mit der regulären Addition bzw. Multiplikation:
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist $e_{+}=0$.
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist $e_{*}=1$.
Addition und Multiplikation auf einem Körper sind abgeschlossen (d.h Summe bzw. Produkt sind ebenso in der Menge enthalten).

Aus diesen Annahmen folgt:
$(a+bi)+(a_{1}+b_{1}i)=0\to a_{1}=-a,b_{1}=-b\to -a,-b\in K$
$b*b^{-1}=1\to b^{-1}={\frac {1}{b}}\to b^{-1}\in K$
$(a+bi)+(-a+0i)=bi\to bi\in K$
$K=\{\mathbb {R} \cup \{a+bi\}\cup b^{-1}\cup \{bi\}\}$
$bi*(b)^{-1}=bi*{\frac {1}{b}}={\frac {bi}{b}}=i\to i\in K$
$K=\{\mathbb {R} \cup \{a+bi\}\cup b^{-1}\cup \{bi\}\cup i\}$
Wenn $i\in K$, so sind auch alle Zahlen aus $\mathbb {R}$, welche mit $i$ multipliziert bzw. addiert werden in $K$, woraus folgt: $K=\mathbb {C}$.