TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 42

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Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung  z^2 + 2z + 4 = 0 sowohl in der Form  a + bi, a \in \mathbb{R} als auch in der Polarkoordinatenform  r*(cos \phi + i*sin\phi), r \geq 0, 0 \leq \phi \leq 2\pi dar!

Nützliches und Hilfreiches:[Bearbeiten]

Große Lösungsformel[Bearbeiten]

ax^2+bx+c=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Betrachtung der Diskriminante Die Diskriminante (D) ist  b^2 - 4ac . Je nach Wert der Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in \mathbb{R} oder \mathbb{C} zu erwarten sind.

Wenn gilt:

  • D > 0 \Rightarrow verschiedene reelle Lösungen
  • D = 0 \Rightarrow genau eine Lösung
  • D < 0 \Rightarrow keine reelle Lösung

Die Polarform ist definiert durch:  z = r*(\cos\phi + i*\sin\phi)

  • r ist der Betrag von z und ergibt sich aus der Formel a^2+b^2=c^2 für rechtwinkelige Dreiecke
  •  r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Lösungsvorschlag (analog Beispiel 39)[Bearbeiten]

Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades mit Koeeffizienten in  \mathbb{C} n verschiedene Lösungen in  \mathbb{C} .

Unsere gegebene Gleichung ist zweiten Grades, daher sind zwei Lösungen zu erwarten.

Die gegebene quadratische Gleichung  z^2 + 4z + 8 = 0 stellen wir allgemeiner wie folgt dar:  az^2 + bz + c = 0

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar: a=1, b=2 und c=4

Die Diskriminante beträgt -12, daher sind zwei komplexe Lösungen zu erwarten!

 z_{1,2} = - 1 \pm \frac{i\sqrt{12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}

Die 2 Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene (Form a \pm bi) sind daher:

  z_1 = -1 + i\sqrt{3}      z_2 = -1 - i\sqrt{3}  (konjugiert komplex!)

Achtung: Überlegen, wo sich die Punkte in der Gaußschen Zahlenebene befinden (2. und 3. Quadrant)!!

Umrechnen der Koordinaten in die Polarform

Zuerst mal einige Überlegungen:

 Radius    r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 
 \cos\phi = 1/2   \sin\phi = -i*\sqrt{3}/2   was einen Winkel \phi = 2\pi/3 (120 Grad) bedeutet.

An dieser Stelle sollte man aufpassen, in welchem Quadranten man sich befindet, denn cos 60 = 1/2 und sin 120 = -\sqrt{3}/2

120 Grad gespiegelt sind dann 240 Grad. Das müssen wir noch in \pi umrechnen.

 \phi_1 = 2*\pi/3  und  \phi_2 = 4*\pi/3   (60 Grad = \pi/3)

Jetzt hat man alles für die Polarkoordinatendarstellung z = [r,\phi]

 z_1 = [2,2*\pi/3]    z_2 = [2,4*\pi/3]

Hapi

r ist richtig 2 und nicht 1, war ein Schreibfehler. Danke für den Hinweis. Schon ausgebessert.

frage: wieso hebst du \cos\phi mit \sin\phi auf? da ghört doch ein arccos hin oder? MfG peda