TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 421

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Beweisen Sie, daß die angegebene Identität in einem Ring R für alle a,b \in R gilt (-c bezeichnet das additive Inverse zu c)

(-a).(-b)= a.b

==Angabe==

Beispiel Nr.:
WS2007: 303 WS2014: 421

Lösungsvorschlag von Apfelsaft[Bearbeiten]

Mein Beweis ist etwas umständlich. Geht sicher auch einfacher.

a + (-a) = 0 \mid *(-b)

a(-b) + (-a)(-b) = 0 \mid +(ab)

a(-b) + (-a)(-b) +(ab) = (ab)

Behauptung: a(-b) = -(ab)

Beweis:

b + (-b) = 0 \mid *a

ab + a(-b) = 0 \mid +(-ab) denn es gilt das Distributivgesetz für Ringe.

ab + a(-b) + (-ab) = -(ab)  \mid Abziehen von (-ab) von ab

a(-b)=-(ab)

Durch Beweis gewonnene Erkentnisse anwenden:

-(ab) + (-a)(-b) +(ab) = (ab)

(-a)(-b) = (ab)

Links[Bearbeiten]