TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 423

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Seien  \langle R_1, +_1, *_1 \rangle und  \langle R_2, +_2, *_2 \rangle Ringe. Man zeige, daß dann auch  R_1 \times R_2 ein Ring ist.

 (a,b)+_3(c,d) = (a +_1 c,b +_2 d)
 (a,b)*_3(c,d) = (a *_1 c,b *_2 d)
 a,c \in R_1

 b,d \in R_2

Hinweise zur Lösung[Bearbeiten]

 \langle R_1, +_1, *_1 \rangle ist ein Ring, wenn

  •  \langle R_1, +_1 \rangle eine kommutative (=abelsche) Gruppe ist und
  •  \langle R_1, *_1 \rangle eine Halbgruppe ist und
  •  *_1 distributiv  +_1 ist.

Analoges gilt für R_2

Ausserdem ist  R_1 \times R_2 folgendermassen definiert

  •  R_1 \times R_2 := (a,b)| a \in R_1 \wedge b \in R_2

Lösung von TheDon[Bearbeiten]

Ist  \langle R_1 \times R_2, +_3, *_3 \rangle ein Ring, also

  •  \langle R_1 \times R_2, +_3 \rangle eine kommutative Gruppe und
  •  \langle R_1 \times R_2, *_3 \rangle eine Halbgruppe und
  • gilt das Distributivgesetz?

 \langle R_1 \times R_2, +_3 \rangle [Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

 (a,b) +_3 (c,d) = (a +_1 c,b +_2 d)

 { { a,c \in R_1 \Rightarrow a +_1 c \in R_1 } \atop
            { b,d \in R_2 \Rightarrow b +_2 d \in R_2 } } \Rightarrow abgeschlossen

Assoziativ[Bearbeiten]

 [ (a,b) +_3 (c,d) ] +_3 (e,f) = (a,b) +_3 [ (c,d) +_3 (e,f) ]
 [ (a +_1 c, b +_2 d) ] +_3 (e,f) = (a,b) +_3 [ (c +_1 e, d +_2 f) ]
 (a +_1 c +_1 e, b +_2 d +_2 f) = (a +_1 c +_1 e, b +_2 d +_2 f)

Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element[Bearbeiten]

 (a,b) +_3 (x,y) = (a,b) = (x,y) +_3 (a,b)
 (a +_1 x,b +_2 y) = (a,b)= (a +_1 x, b +_2 y)

 a +_1 x = a \Rightarrow x = Neutrales Element aus R_1 (e_1)
 b +_2 y = b \Rightarrow y = Neutrales Element aus R_2 (e_2)

 (e_1, e_2) ist das Neutrale Element von R_1 \times R_2.

Inverse Elemente[Bearbeiten]

 (a,b) +_3 (c,d) = (e_1,e_2) = (c,d) +_3 (a,b)
 (a +_1 c, b +_2 d) = (e_1,e_2) = (a +_1 c, b +_2 d)

 a +_1 c = e_1 \Rightarrow c = -a
 b +_2 d = e_2 \Rightarrow d = -b

 (-a, -b) ist das inverse Element zu (a,b).

Kommutativ[Bearbeiten]

Die Kommutativität haben wir bereits beim neutralen bzw. inversen Element gezeigt.

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

 \langle R_1 \times R_2, +_3 \rangle ist eine kommutative Gruppe.

 \langle R_1 \times R_2, *_3 \rangle [Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

 (a,b) *_3 (c,d) = (a *_1 c,b *_2 d)

 { { a,c \in R_1 \Rightarrow a *_1 c \in R_1 } \atop
            { b,d \in R_2 \Rightarrow b *_2 d \in R_2 } } \Rightarrow abgeschlossen

Assoziativ[Bearbeiten]

 [ (a,b) *_3 (c,d) ] *_3 (e,f) = (a,b) *_3 [ (c,d) *_3 (e,f) ]
 [ (a *_1 c, b *_2 d) ] *_3 (e,f) = (a,b) *_3 [ (c *_1 e, d *_2 f) ]
 (a *_1 c *_1 e, b *_2 d *_2 f) = (a *_1 c *_1 e, b *_2 d *_2 f)

Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

 \langle R_1 \times R_2, *_3 \rangle ist eine Halbgruppe

 *_3 distributiv  +_3 [Bearbeiten]

Distributivität von  \langle R_1,+_1,*_1 \rangle
a *_1 ( b +_1 c) = a *_1 b +_1 a *_1 c

Distributivität von  \langle R_2,+_2,*_2 \rangle
a *_2 ( b +_2 c) = a *_2 b +_2 a *_2 c

Distributivität von  \langle R_1 \times R_2 ,+_3,*_3 \rangle
(a,b) *_3 [ (c,d) +_3 (e,f) ]= (a,b) *_3 (c,d) +_3 (a,b) *_3 (e,f)
(a,b) *_3 [ c +_1 e, d +_2 f ] = (a *_1 c, b *_2 d) +_3 (a *_1 e, b *_2 f)
(a *_1 (c +_1 e), b *_2 (d +_2 f)) = (a *_1 c +_1 a *_1 e, b *_2 d +_2 b *_2 f)
(a *_1 c +_1 a *_1 e, b *_2 d +_2 b *_2 f) = (a *_1 c +_1 a *_1 e, b *_2 d +_2 b *_2 f)

Da wieder beide Gleichungsseiten ident sind, ist auch  *_3 distributiv  +_3 .

(Das ist falsch, oder? Bzw. nur teilweise richtig. Hier wurde nur bewiesen, dass es linksdistributiv ist, also a*(b+c) = a*b + a*c. Damit es "distributiv" ist, muss es gleichzeitig noch rechtsdistributiv sein: (a+b)*c = a*c + b*c. Siehe Buch S. 80.)

Antwort: Da du hast Recht. Man geht hier nach dem gleichen Prinzip vor, um die Rechtsdistributivität zu zeigen.

Schlusssatz[Bearbeiten]

 \langle R_1 \times R_2, +_3, *_3 \rangle ist ein Ring