TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 424

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Sei <R,+,\cdot> ein Ring, in dem a^2 = a für alle a \in R gilt. Man zeige, dass dann auch a + a = 0 für alle a \in R gilt. (Hinweis: Man betrachte (a+a)^2)

Lösung[Bearbeiten]

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird (a+a)^2 mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

(a+a)^2 = (a+a) \cdot (a+a) = a \cdot (a+a) + a \cdot (a+a) = a^2 + a^2 + a^2 + a^2

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt (a+a) \cdot (a+a) auflösen lassen.

\Rightarrow (a+a)^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2

Da jedes beliebige a^2 = a ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

a + a = a + a + a + a

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

0 = a + a

Voilà!

Anmerkung:

0 = a + a

 -a = a

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).