TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 424

Sei $<R,+,\cdot>$ ein Ring, in dem $a^2 = a$ für alle $a \in R$ gilt. Man zeige, dass dann auch $a + a = 0$ für alle $a \in R$ gilt. (Hinweis: Man betrachte $(a+a)^2$)

Lösung

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird $(a+a)^2$ mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

$(a+a)^2 = (a+a) \cdot (a+a) = a \cdot (a+a) + a \cdot (a+a) = a^2 + a^2 + a^2 + a^2$

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt $(a+a) \cdot (a+a)$ auflösen lassen.

$\Rightarrow (a+a)^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2$

Da jedes beliebige $a^2 = a$ ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

$a + a = a + a + a + a$

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

$0 = a + a$

Voilà!

Anmerkung:

$0 = a + a$

$-a = a$

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).