TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 425

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Sei <R,+,\cdot> ein Ring, in dem a^2 = a für alle a \in R gilt. Man zeige, dass dann R kommutativ ist. (Hinweis: Man betrachte (a+a)^2 und (a+b)^2)

Voraussetzung[Bearbeiten]

Beweis beginnt genauso wie Beispiel 424!

Ich nehme, hier als Voraussetzung, dass wir wissen, dass a+a = 0 ist. Steht im Beweis zu Beispiel 424.

Lösung[Bearbeiten]

Wir wollen zeigen, dass R bezüglich der Multiplikation kommutativ ist. D.h. für beliebige a und b aus R soll gelten: ab = ba

Man schaut sich also, wie im Hinweis beschrieben, noch (a+b)^2 an:

(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot (a+b) + b \cdot (a+b) = a^2 + ab + ba + b^2

Achtung! Wir wissen hier noch nicht, dass die Multiplikation kommutativ ist, d.h. für uns sind Mal gedanklich ab und ba nicht unbedingt dasselbe, aber das wollen wir zeigen.

\Rightarrow (a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2

Wir lassen wieder die Quadrate weg, da wir wissen, dass jedes beliebige a^2 = a ist.

a + b = a + ab + ba + b

Jetzt geben wir auf beiden Seiten (-a) und (-b) dazu (eliminieren also a und b aus der Gleichung). Anmerkung: Das ist trivial möglich, da die Addition in einem Ring kommutativ ist. Wenn sie nicht kommutativ wäre, ginge es trotzdem. Man müsste nur das (-a) von links dazuaddieren und das (-b) von rechts.

0 = ab + ba

ab = -(ba)

Wir wissen aber noch, dass a + a = 0 für alle a \in R gilt.

ab = -(ba) + 0 \, \Rightarrow \, ab = -(ba) + ba + ba

\Rightarrow ab = ba