TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 427

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Man ermittle, ob beim Übergang von R zu R\times R (Beispiel 422) die folgenden Eigenschaften erhalten bleiben:

  1. Kommutativität,
  2. Nullteilerfreiheit,
  3. Existenz eines Einselements.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Kommutativität (M Trägermenge):

\forall a,b\in M:\quad a\circ b=b\circ a

Nullteiler n:

\exists n\neq 0\in M:\quad a\circ n=n\circ a=0

Neutrales Element e:

\forall e, a\in M:\quad a\circ e=e\circ a=a

Das neutrale Element e ist immer eindeutig bestimmt.

  • \circ=+:\quad e heißt auch Nullelement ("0").
  • \circ=\cdot:\quad e heißt auch Einselement ("1").


Lösung von Piri[Bearbeiten]

a) Ja ist kommutativ, da:

(a, b) \cdot (c, d) = (a\cdot c, b\cdot d) = (c\cdot a, d\cdot b) = (c,d) \cdot (a,b)

b) nicht Nullteilerfrei, da:

a,b\in R  \quad a,b\ne 0

(a,0)\cdot(0,b) = (a \cdot 0,0 \cdot b) = (0,0)

c) Ja Einselement bleibt erhalten:

 (a,b) \cdot (1,1) = (a\cdot 1,b\cdot 1) = (a, b)

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