TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 433

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Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von \overline{4}x^2+\overline{7}x+\overline{7}=\overline{0} über dem Körper \mathbb{Z}_{11}.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Es existiert ein Programm-Entwurf (als Text) zur Suche der Restklassen-Elemente.
Große Lösungsformel
Große Lösungsformel[Bearbeiten]

ax^2+bx+c=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Restklassen
Restklassen[Bearbeiten]

Restklassen modulo m:

\overline{a}=\lbrace a+km|k\in\mathbb{Z}\rbrace_{m}

Restklassenring
Restklassenring[Bearbeiten]

Allgemein gilt:

Eine Restklassenring R_m bildet einen Körper, wenn m prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).

Lösung von Baccus[Bearbeiten]

(Siehe auch: evtl. aktuellere Lösung von Beispiel 311

Der naive Versuch, eine Lösung auf \mathbb{Z} zu finden, schlägt fehl: Der Wert der Diskriminante D=b^2-4ac=7^2-4\cdot4\cdot7=-63<0 besagt, daß keine Lösung in \mathbb{Z} existiert.

Auf dem Restklassenring \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} können wir die Diskriminante jedoch in den Bereich \geq0 zwingen, indem wir andere Elemente aus den jeweiligen Restklassen von \mathbb{Z}_{11} zur Lösung in \mathbb{Z} verwenden.

Da m=11 prim ist, bildet \langle\mathbb{Z}_{11}, +, \cdot\rangle einen Körper, und die verwendeten Operationen sind definiert und abgeschlossen.

Z.B (Werte erst mit obigen Java-Programm. gefunden :-):

\begin{array}{lll}a=\overline{4}_{\mathbb{Z}_{11}}=4_\mathbb{Z}, &b=7+3m|_{m=11}=40_\mathbb{Z}, &c=7+7m|_{m=11}=84_\mathbb{Z}\end{array}:

Diskriminante D=b^2-4ac=\overline{4}^2-4\cdot\overline{7}\cdot\overline{7}=40^2-4\cdot4\cdot84=256\geq0\quad\surd Lösung existiert (zumindest in \mathbb{R} (siehe auch TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 303)).

ax^2+bx+c=\overline{4}x^2+\overline{7}x+\overline{7}=4x^2+40x+84=0\quad\Longrightarrow

x_{1,2}=\frac{-40\pm\sqrt{40^2-4\cdot4\cdot84}}{2\cdot4}\Rightarrow

x_1=\frac{-40+16}{8}=-3=(-3+km)\vert_{m=11, prim}^{k=1\in\mathbb{Z}}=8\quad\in\overline{8}_{\mathbb{Z}_{11}}

x_2=\frac{-40-16}{8}=-7=\cdots\quad\in\overline{4}_{\mathbb{Z}_{11}}

Baccus 20:13, 11. Jan 2007 (CET)

(Danke, Poseidon!)

Anmerkung: Poseidon[Bearbeiten]

Nur eine Kleinigkeit: die Zeile "ax^2+bx+c=\overline{4}x^2+\overline{7}x+\overline{7}=40x^2+4x+84=0\quad" bei Baccus müsste eigentlich lauten: "ax^2+bx+c=\overline{4}x^2+\overline{7}x+\overline{7}=4x^2+40x+84=0\quad" oder? Nicht böse sein wenn ich mich irre.

Anmerkung: Hapi[Bearbeiten]

Rechnerisch stimme ich mit der formal schöneren Lösung von Baccus vollkommen überein. Der einzige Unterschied liegt darin, wie wir die Angabe interpretieren. Baccus meint die Lösung seien Restklassen und führt auch sehr überzeugende Argumente dafür an, ich bin eher etwas mißtrauisch da die x in der Angabe ohne Restklassenstriche sind. Würde daher vorschlagen, auf beide Möglichkeiten vorbereitet zu sein, denn beide Versionen erfüllen die Gleichung.

Die Entscheidung ist gefallen, das Ergebnis sind doch Restklassen, der Schlüsses ist "alle Lösungen" und das kann nicht nur eine sein, somit eine Restklasse.

Hapi

Links[Bearbeiten]

Wikipädia:

Ähnliche Beispiele: