TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 443

Sei $(M, \land, \lor)$ eine Boolesche Algebra. Beweisen Sie:

a) $\forall a \in M : a \lor 1 = 1, a \land 0 = 0$.

b) Falls $a \lor b = 1$ und $a \land b = 0$, so folgt $b = a'$

Lösungsvorschlag

(Mathematik für Informatik (2.Auflage) Seite 87)

a) Term mit 1 bzw. 0 erweitern und dann das Verschmelzungsgesetz anwenden:

  $a \lor 1 = (a \lor 1) \land 1 = 1$
  $a \land 0 = (a \land 0) \lor 0 = 0$

b) Für den ersten Teil des Beweises verwenden wir $a \lor b = 1$:

  $a' = a' \land 1 = a' \land (a \lor b) = (a' \land a) \lor (a' \land b) = 0 \lor (a' \land b) =  a' \land b$

Für den zweiten Teil verwenden wir $a \land b = 0$

  $b = b \land 1 = b \land (a \lor a') = (b \land a) \lor (b \land a') = 0 \lor (b \land a') = b \land a'$

Sowohl $a'$ als auch $b$ sind $b \land a'$. Somit stimmt die Behauptung $b = a'$.