TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 444

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Sei M die Menge aller Teiler von 60. Bestimmen Sie alle Komplemente in (M, ggT, kgV). Ist diese Struktur eine Boolsche Algebra?

Lösungsvorschlag von m4rS[Bearbeiten]

Teiler sind (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)

Neutrales Element bzgl ggT=60, kgV=1 (ggt(x,60)=x, kgV(x,1)=x)

Boolsche Algebra:

ggT(a,a')=1, kgV(a,a')=60, wir sollen ein a finden wos kein a' gibt, Lösung ist a=2

Lösungsvorschlag von Piri[Bearbeiten]

M ist durch die Angabe als M=\{n \in \N^{+} \mid n| 60 \} gegeben.

Ausgerechnet ergibt das M = \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}.

Das Neutrale Element bzgl. des ggT ist 60, bzgl. des kgV ist es 1. Also gilt ggT(a,60)=a und kgV(b,1)=b

Achtung! D.h. das 0-Element ist 1 und das 1-Element ist 60!

Alle Komplemente finden:

Für ein Komplement a' von einem Element  a \in M muss folgendes gelten:

kgV(a,a')=60 \quad ggT(a,a') = 1

Daraus folgt, dass die beiden relativ prim sein müssen und a \cdot a' = 60

Um nun alle Komplemente zu finden hilft es sich die Primfaktorenzerlegung von 60 aufzuschreiben: 60 = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2. Aus den Bedingungen die wir vorher abgeleitet haben sieht man schnell, dass es 4 komplementäre Paare gibt:

(1,60) \quad (3, 20) \quad (5, 12) \quad (15, 4)

Es handelt sich hier also um keine Boolesche Algebra da z.B. Das Element 2 kein Komplement hat.

Links[Bearbeiten]

Diskussion Informatik Forum WS 07 Beispiel 319