TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 45

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Man zeige \left |\frac{z_1 + z_2}{2}\right |^2 + \left |\frac{z_1 - z_2}{2}\right |^2 = \frac{1}{2}(\left | z_1 \right |^2 + \left | z_2 \right |^2)

Brauchbares[Bearbeiten]

\left | z \right | = \sqrt{a^2 + b^2}

Lösung[Bearbeiten]

Umformen des ersten Teil der linken Seite

z_1 + z_2 = a + bi + c + di

wende brauchbares im ersten Teil an

\left |\frac{z_1 + z_2}{2}\right |^2 = \left (\frac{\sqrt{ (a+c)^2 + (b+d)^2}}{2} \right )^2 = \frac{a^2 + 2ac + c^2 +b^2+2bd+d^2}{4}

Umformen des zweiten Teil der linken Seite

z_1 - z_2 = a + bi - (c + di)

wende brauchbares im zweiten Teil an

\left |\frac{z_1 - z_2}{2}\right |^2 = \left (\frac{\sqrt{ (a-c)^2 + (b-d)^2}}{2} \right )^2 = \frac{a^2 - 2ac + c^2 +b^2-2bd+d^2}{4}

Führe ersten und zweiten teil zusammen

\frac{a^2 + 2ac + c^2 +b^2+2bd+d^2}{4} + \frac{a^2 - 2ac + c^2 +b^2-2bd+d^2}{4} = \frac{2a^2+2c^2+2b^2+2d^2}{4}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}

Nun kommt die rechte Seite

\frac{1}{2}(\left | z_1 \right |^2 + \left | z_2 \right |^2) = \frac{1}{2}\left ( (\sqrt{a^2 + b^2} )^2 + ( \sqrt{c^2+d^2} )^2 \right ) = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}

Rechte und Linke Seite geich ==> passt