TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 458

Bildet $R_{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $R$? $(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{2},x_{2}+y_{1}),\lambda (x1,x,2)=(\lambda x1,\lambda x2)$

Lösungsvorschlag von neo

$({\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}})+{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{2}\\a_{2}+b_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{2}+c_{2}\\a_{2}+b_{1}+c_{1}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+({\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}+c_{2}\\b_{2}+c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{2}+c_{1}\\a_{2}+b_{1}+c_{2}\end{pmatrix}}$

$(\mathbb {R} ^{2},+)$ ist nicht assoziativ, daher auch kein Vektorraum.