TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 456

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Untersuchen Sie, ob Teilraum des Vektorraums über ist und beschreiben Sie die Menge geometrisch:

Hilfreiches[edit]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.05 Definition]

Sei ein Vektorraum, heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • ist abgeschlossen bezüglich
  • ist abgeschlossen bezüglich

Lösung[edit]

Gegeben ist ein Vektorraum: , , , also mathematischer geschrieben:

,

Geometrisch beschrieben sind Vektoren in W sowohl in der Ebene XZ, als auch in der Ebene YZ und entlang der Z-Achse.

Wie bei Untergruppen auch, muss bei einem Unterraum gelten, dass dieser in sich abgeschlossen ist, es muss also gelten:

Wenn man nun aber die beiden Vektoren: und addiert, kommt der Vektor heraus und dieser liegt nicht in . Daher ist nicht abgeschlossen und kein Vektorraum, und somit auch kein Unterraum.

x1 = {(x y z) | x = 0 und y <> 0} e W x2 = {(u v w) | u <> 0 und v = 0} e W a = x1 + x2 : es existiert ein a : a = { (x,y,z) | x<>0 und y<>0 } => a ne W => daraus folgt W kein Unterraum (aber ein Vektorraum ?)

Edit: Da abgeschlossenheit auch für einen Vektorraum gelten muss kann es auch kein Vektorraum sein. Anmerkung zum Edit: jein. Ein Unterraum ist definitionsgemäß ein Vektorraum. Kein Vektorraum => kein Unterraum. Text entsprechend korrigiert.

Links[edit]

  • Diskussion & Lösung im UE-Forum WS06 Beispiel 485

Wikipädia:

Links[edit]