TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 457

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=\mathbb{R}^3 über \mathbb{R} ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W=\{(x, y, z)\in V\;|\;x+y+z \le 0\}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Gegeben ist ein Vektorraum: V=\mathbb{R}^3, K = R, +, also mathematischer geschrieben: <R³,+,R>

W \le 0 V, W = { (x,y,z) | x+y +z \le 0 }

Dass heißt Vektoren die \le 0 sind, müssen addiert werden und die Summe muss die Bedingung \le 0 erfüllen.

Als Beispiel:

v1 = ( x y z )         (x+y+z)          \le 0
v2 = (x1 y1 z1)        (x1+y1+z1)       \le 0 und das Ergenis der Addition wäre dann 
v3 =  v1+v2 =          (x+x1 y+y1 z+z1) \le 0

Man kann aber nicht beliebig skalieren (\lambda aus R). Daher kann \lambda negativ sein.

Somit wird aber eine negative Summe der Komponenten von einem negativen Vektor positv werden.

--> Kein Teilraum.

Links[Bearbeiten]

  • Diskussion im UE-Forum WS07 Beispiel 330

Wikipedia:

  • Siehe auch:

Heldermann, Mathematik für Informatiker, Seite 96