TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 458

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=\mathbb{R}^3 über \mathbb{R} ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W=\{(x, y, z)\;|\;x+y+z\geq0\}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)

Lösungsvorschlag von Apfelsaft[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit bezüglich U+U:
Ist erfüllt. Addiert man etwas positives mit etwas positiven oder mit 0 kann nur wieder etwas positives herauskommen.

Abgeschlossenheit bezüglich U*K:
Nicht erfüllt.
z.B. U={1,1,1}, \lambda = -1
Ergebnis wäre negativ.
Also kein Teilraum. korrigiert von peter1058: von Vektorraum auf Teilraum geändert (siehe Angabe)

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