TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 461

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=\mathbb{R}^3 über \mathbb{R} ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W=\{(x, y, z)\;|\;x=-z\}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten]

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, U\neq\varnothing, ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt x=-z, wie z. B.


\begin{bmatrix}
  -1            \\
   0  \\ 
   1      
\end{bmatrix}

2. Kriterium[Bearbeiten]

Das zweite Kriterium ist erfüllt, weil für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder erfüllt:x=-z (Abgeschlossenheit bzgl. Addition von U + U). z. B.

\begin{bmatrix}
  -1  \\
   0  \\ 
   1      
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  -1  \\
   0  \\ 
   1      
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  -2  \\
   0  \\ 
   2      
\end{bmatrix}

3. Kriterium[Bearbeiten]

Das dritte Kriterium ist erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar \lambda aus \mathbb{R} gilt, dass er wieder die Kondition x=-z erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von U \cdot K).

z. B.

\begin{bmatrix}
  -1  \\
   0  \\ 
   1      
\end{bmatrix} \cdot 3 = \begin{bmatrix}
  -3  \\
   0  \\ 
   3      
\end{bmatrix}

Es handelt sich bei W also um einen Teilraum des oben genannten Vektorraums.

Geometrische Darstellung[Bearbeiten]

TU Wien-Mathematik 1 UE (diverse) - Skizze 341.gif

Shikantaza 10:15, 30. Mai 2009 (CEST)


Links[Bearbeiten]