TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 456

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=\mathbb{R}^3 über \mathbb{R} ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W=\{(x, y, z)\in V\;|\;xy=0\}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)

Lösung[Bearbeiten]

Gegeben ist ein Vektorraum: V = \mathbb{R}^3, K = \mathbb{R}, +, also mathematischer geschrieben: (\mathbb{R}^3, +, \mathbb{R})

W \leq V, W = \{(x,y,z) \mid xy = 0\}

Geometrisch beschrieben sind Vektoren in W sowohl in der Ebene XZ, als auch in der Ebene YZ und entlang der Z-Achse. x = 0 \lor y = 0

Wie bei Untergruppen auch, muss bei einem Unterraum gelten, dass dieser in sich abgeschlossen ist, es muss also gelten: a, b \in W \Rightarrow a + b \in W

Wenn man nun aber die beiden Vektoren: \begin{pmatrix}
1\\0\\0\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} addiert, kommt der Vektor \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} heraus und dieser liegt nicht in W. Daher ist W nicht abgeschlossen und kein Vektorraum, und somit auch kein Unterraum.

x1 = {(x y z) | x = 0 und y <> 0} e W x2 = {(u v w) | u <> 0 und v = 0} e W a = x1 + x2 : es existiert ein a : a = { (x,y,z) | x<>0 und y<>0 } => a ne W => daraus folgt W kein Unterraum (aber ein Vektorraum ?)

Edit: Da abgeschlossenheit auch für einen Vektorraum gelten muss kann es auch kein Vektorraum sein. Anmerkung zum Edit: jein. Ein Unterraum ist definitionsgemäß ein Vektorraum. Kein Vektorraum => kein Unterraum. Text entsprechend korrigiert.

Links[Bearbeiten]

  • Diskussion & Lösung im UE-Forum WS06 Beispiel 485

Wikipädia:

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