TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 463

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=\mathbb{R}^3 über \mathbb{R} ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W=\{(x, y, z)\;|\;x^2 + y^2 = 1\}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten]

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, U\neq\varnothing, ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt x^2 + y^2 = 1, wie z. B.


\begin{bmatrix}
   0  \\
   1  \\ 
   8      
\end{bmatrix}

2. Kriterium[Bearbeiten]

Es gilt hier die Abgeschlossenheit bzgl. Addition von U + U zu prüfen.

Das zweite Kriterium ist nicht erfüllt, da nicht für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder x^2 + y^2 = 1 erfüllt. Wir wählen z. B. die folgenden Vektoren und addieren:

\begin{bmatrix}
   0  \\
   1  \\ 
   p      
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  \sqrt{\frac{5}9}  \\
   \frac{2}3  \\ 
    q     
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  \sqrt{\frac{5}9}  \\
   \frac{5}3 \\
   p + q      
\end{bmatrix}

Nun müsste für die Summe der beiden Vektoren gelten x^2 + y^2 = 1. Dies ist jedoch nicht der Fall, weil \frac{5}9 + \frac{25}9 = \frac{10}3 \not= 1: Keine Abgeschlossenheit bzgl. Addition lt. Kriterium 2.

3. Kriterium[Bearbeiten]

Das dritte Kriterium ist auch nicht erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar \lambda aus \mathbb{R} gelten müsste, dass es wieder die Kondition x^2 + y^2 = 1 erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von U \cdot K). Dies ist jedoch auch nicht der Fall.

z. B.

\begin{bmatrix}
   0  \\
   1  \\ 
   r      
\end{bmatrix} \cdot \lambda = \begin{bmatrix}
   0  \\
   \lambda  \\ 
   r \cdot \lambda      
\end{bmatrix}

Diese Gleichung stimmt nur für \lambda = 1 und nicht für alle Werte des Körpers \mathbb{R}. Somit ist auch das dritte Kriterium nicht erfüllt. Es handelt sich bei W also nicht um einen Teilraum des oben genannten Vektorraums.

Geometrische Darstellung[Bearbeiten]

Skizze.gif

Shikantaza 19:24, 30. Mai 2009 (CEST)

Links[Bearbeiten]