TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 486

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Zeigen Sie, daß die Vektoren \vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3} genau dann linear unabhängig sind, wenn \vec{x_1}+\vec{x_2},\vec{x_2}+\vec{x_3},\vec{x_3} linear unabhängig sind.

Theoretische Grundlagen (von mnemetz)[Bearbeiten]

Wir befinden uns in \mathbb{R}^n und betrachten:

  • Vektoren: \vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n} \in \mathbb{R}^n
  • Skalare: \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \in \mathbb{R}

Ein Vektor mit der Form \vec{y} = \lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n} heißt Linearkombination der Vektoren \vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}.

Die Vektoren \vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n} heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: \vec{x_1} = \lambda_2*\vec{x_2} + \lambda_3*\vec{x_3} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}

Andernfalls heißen \vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n} linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren \vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n} sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: \lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n} = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Zuerst schreiben wir die Linearkombination unserer Vektoren auf:

\lambda_1 * \vec{x_1} + \lambda_2 * \vec{x_2} + \lambda_3 * \vec{x_3} = 0

In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein!

\mu_1 * (\vec{x_1}+\vec{x_2}) + \mu_2 * (\vec{x_2}+\vec{x_3}) + \mu_3 * \vec{x_3} = 0

Wir multiplizieren das aus ...

\mu_1 *\vec{x_1} + \mu_1 *\vec{x_2} + \mu_2 * \vec{x_2} + \mu_2 * \vec{x_3} + \mu_3 *\vec{x_3} = 0

... und fassen wieder zusammen, was zusammen gehört:

\mu_1 * \vec{x_1} + (\mu_1 + \mu_2) * \vec{x_2} + (\mu_2 + \mu_3) * \vec{x_3} = 0

Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.

\lambda_1 = 0 \Rightarrow \mu_1 = 0

\lambda_2 = 0 \Rightarrow \mu_1 + \mu_2 = 0 \Rightarrow \mu_2 = 0

\lambda_3 = 0 \Rightarrow \mu_2 + \mu_3 = 0 \Rightarrow \mu_3 = 0

\mu_1 = 0 \Rightarrow \lambda_1=0

\mu_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 0

\mu_3 = 0 \Rightarrow \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \Rightarrow \lambda_3 = 0

Lösungsvorschlag von m4rS[Bearbeiten]

Eigentlich eh der gleiche wie oben, nur ein wenig anders formuliert

\lambda_1 * \vec{x} + \lambda_2 * \vec{y} + \lambda_3 * \vec{z} = 0 Das ist die Linearkombination von x,y,z

\mu_1 * (\vec{x}+\vec{y}) + \mu_2 * (\vec{y}+\vec{z}) + \mu_3 * \vec{z}) = 0 Das die der Angabe, da beide 0 ergeben können wir sie gleichsetzen.

\lambda_1 * \vec{x} + \lambda_2 * \vec{y} + \lambda_3 * \vec{z} = \mu_1 * (\vec{x}+\vec{y}) + \mu_2 * (\vec{y}+\vec{z}) + \mu_3 * \vec{z}) Jetzt bringen wir alles auf eine Seite und multiplizieren aus

\lambda_1 * \vec{x} + \lambda_2 * \vec{y} + \lambda_3 * \vec{z} - \mu_1 * \vec{x} - (\mu_1 + \mu_2) * \vec{y} - (\mu_2 + \mu_3) * \vec{z} = 0, ist das gleiche wie

(\lambda_1 - \mu_1) * \vec{x} + (\lambda_2 - (\mu_1 + \mu_2)) * \vec{y} + (\lambda_3 - (\mu_2 + \mu_3) ) * \vec{z} = 0Womit wir wieder eine Linearkombination haben, wobei wie in der Annahme am Anfang gilt, dass sie linear unabhängig ist, wenn alle drei Koeffizienten 0 sind. Weiter sind nach der Annahme am Anfang  \mu_1=\mu_2=\mu_3=0, also müssen die Lambda auch alle null sein, sonst sind unsere neuen Koeffizienten nicht null.

Ressourcen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
  • Skriptum S. 80f.