TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 497

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Sei  V = \left\{ \sum_{i=0}^{n}{a_i \cdot x^i} | a_i \in \mathbb R, n \in \mathbb N \right\} der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten. Untersuchen sie, ob dass 1-x + x^3 , 3-x^2+x^3, -5+3x + x^2-4x^3 linear unabhängig sind

Hilfreiches[Bearbeiten]

lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten]

Lineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit[Bearbeiten]

\lbrace\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{x_2},\ldots, \overrightarrow{x_n}\rbrace heißt linear abhängig, wenn

\exists\overrightarrow{x_i}:\quad\overrightarrow{x_i} ist Linearkombination aus \lbrace x_j|j\neq i\rbrace Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es keinen Vektor v in der Menge M gibt, der durch Linearkombinationen der anderen Vektoren der Menge dargestellt werden kann.
Mathematisch ausgedrückt:

Um zu zeigen, dass die Vektoren unabhängig sind, muss man beweisen, dass die Linearkombination

\lambda_1\cdot \vec v_1 + \lambda_2\cdot \vec v_2 + \cdots + \lambda_n\cdot \vec v_n = \vec 0

trivial ist, d.h. dass \lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n = 0

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\lambda_1\cdot \vec v_1 + \lambda_2\cdot \vec v_2 + \lambda_3\cdot \vec v_3 = \vec 0
\lambda_1\cdot (1-x + x^3) + \lambda_2\cdot (3-x^2+x^3) + \lambda_3\cdot (-5+3x + x^2-4x^3) =  0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 +0 \cdot x^0
ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt das:
x^3\cdot (\lambda_1+\lambda_2-4\cdot \lambda_3) + x^2\cdot (-\lambda_2+\lambda_3) + x^1\cdot (-\lambda_1+3\lambda_3) + x^0 \cdot (\lambda_1 +3\lambda_3-5\lambda_3)=  0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 +0 \cdot x^0
aus dieser Gleichung folgt:
\lambda_1+\lambda_2-4\cdot \lambda_3 = 0
-\lambda_2+\lambda_3 = 0
-\lambda_1+3\cdot \lambda_3 = 0
\lambda_1 +3\lambda_3-5 \cdot \lambda_3 = 0
aus diesen Gleichungen kann man leicht errechnen, dass

\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0

ist, woraus folgt, dass die Vektoren linear unabhängig sind