TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 5

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Man beweise mittels vollständiger Induktion

\sum\limits_{j = 1}^n {1 \over {j (j+1)}} = {n \over {n+1} }, wobei (n\ge1)

Aufgabe

Induktionsanfang:  n = 1

Ergibt:

 \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1}

 \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

\sum\limits_{j = 1}^{n+1} {1 \over {j (j+1)}} = {{n+1} \over {n+2} }

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsvorraussetzung)

Schritt 1

Das Summenzeichen sagt uns, dass wir von 1 bis n+1 addieren sollen. Das ist dasselbe als würden wir zuest 1 bis n addieren und dann noch n+1 dazu geben. Daraus folgt:

\sum\limits_{j = 1}^{n+1} {1 \over {j (j+1)}}  =  \sum\limits_{j = 1}^{n} {1 \over {j (j+1)}} +  \frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} (*)

Schritt 2

Aus der Angabe wissen wir (oder eher "vermuten wir"), dass

\sum\limits_{j = 1}^n {1 \over {j (j+1)}} = {n \over {n+1} }

Deswegen können wir (*) umwandeln zu:

{n \over {n+1} } + \frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} (#)

Schritt 3

Ziel ist es, die Induktionsvoraussetzung zu beweisen. Deswegen müssen wir jetzt den Term (#), der der linken Seite der Induktionsvoraussetzung entspricht, solange umformen, bis er genauso aussieht wie die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung.

Kurz gesagt, wir müssen (#) umformen, bis wir als Ergebnis bekommen:  {{n+1} \over {n+2} }

 \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} =

=  \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} =

= \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} =

= \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} =

= \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)} =

= \frac{n+1}{n+2}

Zur Erinnerung: dieses Ergebnis (über dieser Zeile) ist die linke Seite der Induktionsvoraussetzung umgeformt. Wir setzen nun wieder in die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten dadurch:

=> \frac{n+1}{n+2} = \frac{n+1}{n+2}

Q.e.d.