TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 5

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Man beweise mittels vollständiger Induktion

, wobei

Aufgabe

Induktionsanfang:

Ergibt:

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsvorraussetzung)

Schritt 1

Das Summenzeichen sagt uns, dass wir von 1 bis n+1 addieren sollen. Das ist dasselbe als würden wir zuest 1 bis n addieren und dann noch n+1 dazu geben. Daraus folgt:

(*)

Schritt 2

Aus der Angabe wissen wir (oder eher "vermuten wir"), dass

Deswegen können wir (*) umwandeln zu:

(#)

Schritt 3

Ziel ist es, die Induktionsvoraussetzung zu beweisen. Deswegen müssen wir jetzt den Term (#), der der linken Seite der Induktionsvoraussetzung entspricht, solange umformen, bis er genauso aussieht wie die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung.

Kurz gesagt, wir müssen (#) umformen, bis wir als Ergebnis bekommen:

Zur Erinnerung: dieses Ergebnis (über dieser Zeile) ist die linke Seite der Induktionsvoraussetzung umgeformt. Wir setzen nun wieder in die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten dadurch:

Q.e.d.