TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 50

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Man berechne alle Werte von \sqrt{7 + 24i} = a + bi ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.

(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile).

Nützliches und Hilfreiches:[Bearbeiten]

Große Lösungsformel[Bearbeiten]

ax^2+bx+c=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

siehe auch Beispiel 73

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Die Gleichung quadriert ergibt folgendes:

 7 + 24i = a² - b² + 2abi   Realteil:  7 = a² - b²  Imaginärteil:   24i = 2abi oder 12 = ab

Diesen Wert kann ich in die Gleichung 7 = a² - b² einsetzen, das ergibt dann -144/a² + a² = 7

Als nächsten Schritt ersetze ich a² durch x und forme die Gleichung -144/x +x = 7 um, indem ich mit x multipliziere:

x² - 7x - 144 = 0

Nun habe ich eine quadratische Gleichung, die ich auf zwei Wegen lösen kann:

Der klarere Weg (da keine Lösung übersehen wird) ist das Einsetzen in die Lösungsformel

    x = -(-7/2) \pm\sqrt{7*7 -(-4*144)}/2 = 7/2 \pm 25/2    d.h. x1 = 16 und x2 = -9
    x_1 = a^2 = 16      x_2 = a^2 = -9
 Das ergibt für a folgende 2 Werte:  +4, -4; 
 Die Lösungen +3i und -3i dürfen ignoriert werden, da a nur reel sein darf.
 
 Da b = 12/a ist gibt es für b folgende 2 Werte:  +3, -3;
 
 Das ergibt dann folgende Gleichungen, die quadriert alle 7+ 24i ergeben:
 1) (4 + 3i)    2) (-4 - 3i)

Eine andere Moeglichkeit ist:

 Ich erweitere die Gleichung um + 49/4 und -49/4 auf x² - 7x + 49/4 -(49+4*144)/4 = 0  somit (x - 7/2)² = 625/4
 
 Beim nachfolgenden Wurzelziehen wird meist übersehen, daß auch die rechte Seite 2 Lösungen hat
    
    \sqrt{625/4} = \pm 25/2  somit x = 7/2 \pm 25/2 
    x_1 = a^2 = 16    x_2 = a^2 = -9 
   
    Die Werte für a und b werden dann wie oben berechenet

Hapi