TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 507

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Sei A = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix}

Untersuchen Sie, ob die Matrizen I_2, A und  A_2 im Vektorraum der reellen 2x2-Matrizen linear

unabhängig sind.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

zuerst mal A² berechnen

A^2 = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+3 & -1-2\\ -3-6 & 3+4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4 & -3\\ -9 & 7 \end{pmatrix}

lineare Abhängigkeit ist dann vorhanden, wenn gilt:

a \cdot A + b \cdot A^2 + c \cdot I_2 = 0

a \cdot \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix}4 & -3\\ -9 & 7 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

daraus folgt:

(-1) \cdot a + 4 \cdot b + 1 \cdot c = 0

1 \cdot a + (-3) \cdot b + 0 \cdot c = 0 \Rightarrow a = 3 \cdot b

\left( 3 \cdot a + (-9) \cdot b + 0 \cdot c = 0 \Rightarrow a = 3 \cdot b \right)

(-2) \cdot a + 7 \cdot b + 1 \cdot c = 0 \Rightarrow c = 2 \cdot a - 7 \cdot b \Rightarrow c = 6 \cdot b - 7 \cdot b = -b

aus der 1. Gleichung ergibt sich nach dem Ersetzten von a und c:

-3 \cdot b + 4 \cdot b - b = 0

0 = 0 \qquad

\Rightarrow es existieren nicht triviale Lösungen (z.B. b = 1, a = 3, c = -1)

\Rightarrow die Matrizen sind linear abhängig