TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 51

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Man berechne alle Werte von \sqrt{8 - 6i} = a + bi ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.

(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile.)

Nützliches und Hilfreiches:[Bearbeiten]

Große Lösungsformel[Bearbeiten]

ax^2+bx+c=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

siehe auch Beispiel 72

Lösung von Zombie88[Bearbeiten]

Die Gleichung quadriert ergibt folgendes:

  8 - 6i = a² - b² + 2abi   Realteil:  8 = a² - b²  Imaginärteil:   6i = 2abi oder 3 = ab

Diesen Wert kann ich in die Gleichung 8 = a² - b² einsetzen, das ergibt dann -9/a² + a² = 8

Als nächsten Schritt ersetze ich a² durch x und forme die Gleichung -9/x +x = 8 um, indem ich mit x multipliziere:

x² - 8x + - 9 = 0

Nun habe ich eine quadratische Gleichung: x_{1,2} = \frac{8 \pm\sqrt{8*8-(-9)*4}}{2} = 4 \pm 5

x_1=9

x_2=-1

x_2 kann man ignorieren, weil a und b nur reelle Werte annehmen dürfen. (Was aber bei a^2=-1 nicht möglich ist)

Also a^2=9 d.h. a_1=3 oder a_2=-3

Und b_1 = 3/3 = 1 oder b_2 = 3/-3 = -1

Die zwei Lösungen:

3 + i
-3 - i

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Danke für den Beitrag und die Lösung von Zombie88.

Hapi