TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 518

Beweisen Sie, dass jede quadratische Matrix A als Summe einer symmetrischen Matrix B (d.h. $B=B^{T}$ ) und einer schiefsymmetrischen Matrix C (d.h., $C=-C^{T}$ geschrieben werden kann. (Hinweis: Wählen Sie $B={\frac {1}{2}}(A+A^{T})$ .) Wie sieht diese Zerlegung konkret für die Matrix
$A={\begin{pmatrix}1&-2&2\\4&1&1\\3&0&5\end{pmatrix}}$
aus?

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Lösungsvorschlag von Ryus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir befolgen mal brav den Vorschlag der Angabe und setzen $B={\frac {1}{2}}(A+A^{T})$ . Wir müssen nun zeigen, dass diese Matrix symmetrisch ist, also dass für alle i,j gilt $b_{ij}=b_{ji}$ . Dazu schauen wir uns diese Elemente mal konkret an:

$b_{ij}={\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}$

$b_{ji}={\frac {a_{ji}+a_{ij}}{2}}$

$\implies b_{ij}=b_{ji}$

Die Matrix B ist also symmetrisch. Um nun die Matrix C zu finden, so dass gilt $A=B+C$ berechnen wir einfach $C=A-B$ .

$c_{ij}=a_{ij}-{\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}$

Nun müssen wir noch prüfen, ob diese Matrix auch schiefsymmetrisch ist, also ob gilt $c_{ij}=-c_{ji}$ . Betrachten wir beide mal näher:

$c_{ij}=a_{ij}-{\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}$

$c_{ji}=a_{ji}-{\frac {a_{ji}+a_{ij}}{2}}$

Setzen wir nun ein:

$c_{ij}=-c_{ji}\implies a_{ij}-{\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}=-a_{ji}+{\frac {a_{ji}+a_{ij}}{2}}$

$2a_{ij}-a_{ij}-a_{ji}=-2a_{ji}+a_{ji}+a_{ij}$

$a_{ij}-a_{ji}=a_{ij}-a_{ji}$

Wahre Aussage. Damit ist bewiesen, dass C schiefsymmetrisch ist.

Um nun B und C für die gegebene Matrix zu finden, einfach in die Formeln einsetzen und wir erhalten:

$B={\begin{pmatrix}1&1&2,5\\1&1&0,5\\2,5&0,5&5\end{pmatrix}}$

$C={\begin{pmatrix}0&-3&-0,5\\3&0&0,5\\0,5&-0,5&0\end{pmatrix}}$

Die Summe dieser beiden sollte dann wieder A ergeben.

Lösungsvorschlag von Berti[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ich habe einen ähnlichen Lösungsweg wie Ryus gewählt, allerdings bin ich ein wenig anders vorgangen. Dass die Matrizen symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch sind, muss man IMHO nicht zeigen (das wird in der Angabe ja als Voraussetzung genannt), sondern diese Eigenschaften sollte man sich zunutze machen.

Aus der Angabe können wir folgende Eigenschaften bzw. Gleichungen ableiten:

Matrix $A$ ist quadratisch, daher gilt $a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$ sowie $a_{ji}=b_{ji}+c_{ji}$
Matrix $B$ ist symmetrisch, daher gilt $b_{ij}=b_{ji}$
Matrix $C$ ist schiefsymmetrisch, daher gilt $c_{ij}=-c_{ji}$
Matrix $B$ lässt sich über die Matrix $A$ und die transponierte Matrix von $A$ (also $A^{T}$ beschreiben): $b_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})$

Nun setzen wir die Gleichungen so ein, dass sich daraus eine wahre Aussage ergibt, d.h. alle Variablen wegfallen.

Zuerst eliminieren wir dazu $b_{ji}$ und $c_{ji}$ , diese lassen sich ja durch $b_{ij}$ bzw. $-c_{ij}$ ausdrücken:

$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$
$a_{ji}=b_{ij}-c_{ij}$
$b_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})$

Nun setzen wir für $b_{ij}$ ein:

$a_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})+c_{ij}$
$a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})-c_{ij}$

Und formt man beide Gleichungen nach $c_{ij}$ um:

$c_{ij}=a_{ij}-{\frac {1}{2}}a_{ij}-{\frac {1}{2}}a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}-a_{ji})$
$c_{ij}={\frac {1}{2}}a_{ij}+{\frac {1}{2}}a_{ji}-a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}-a_{ji})$