TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 510

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Beweisen Sie, dass jede quadratische Matrix A als Summe einer symmetrischen Matrix B (d.h. B=B^T) und einer schiefsymmetrischen Matrix C (d.h., C = -C^T geschrieben werden kann. (Hinweis: Wählen Sie B = \frac{1}{2}(A+A^T).) Wie sieht diese Zerlegung konkret für die Matrix

A=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2 \\
4 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 5
\end{pmatrix}

aus?

Lösungsvorschlag von Ryus[Bearbeiten]

Wir befolgen mal brav den Vorschlag der Angabe und setzen B = \frac{1}{2}(A+A^T). Wir müssen nun zeigen, dass diese Matrix symmetrisch ist, also dass für alle i,j gilt b_{ij} = b_{ji}. Dazu schauen wir uns diese Elemente mal konkret an:

b_{ij} = \frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}

b_{ji} = \frac{a_{ji}+a_{ij}}{2}

\implies b_{ij} = b_{ji}

Die Matrix B ist also symmetrisch. Um nun die Matrix C zu finden, so dass gilt A=B+C berechnen wir einfach C=A-B.

c_{ij} = a_{ij} - \frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}

Nun müssen wir noch prüfen, ob diese Matrix auch schiefsymmetrisch ist, also ob gilt c_{ij} = -c_{ji}. Betrachten wir beide mal näher:

c_{ij} = a_{ij} - \frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}

c_{ji} = a_{ji} - \frac{a_{ji}+a_{ij}}{2}

Setzen wir nun ein:

c_{ij} = -c_{ji} \implies a_{ij} - \frac{a_{ij}+a_{ji}}{2} = -a_{ji} + \frac{a_{ji}+a_{ij}}{2}

2a_{ij} - a_{ij} - a_{ji} = -2a_{ji} + a_{ji} + a_{ij}

a_{ij} - a_{ji} = a_{ij} - a_{ji}

Wahre Aussage. Damit ist bewiesen, dass C schiefsymmetrisch ist.

Um nun B und C für die gegebene Matrix zu finden, einfach in die Formeln einsetzen und wir erhalten:

B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2,5 \\
1 & 1 & 0,5 \\
2,5 & 0,5 & 5
\end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix}
0 & -3 & -0,5 \\
3 & 0 & 0,5 \\
0,5 & -0,5 & 0
\end{pmatrix}

Die Summe dieser beiden sollte dann wieder A ergeben.

Lösungsvorschlag von Berti[Bearbeiten]

Ich habe einen ähnlichen Lösungsweg wie Ryus gewählt, allerdings bin ich ein wenig anders vorgangen. Dass die Matrizen symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch sind, muss man IMHO nicht zeigen (das wird in der Angabe ja als Voraussetzung genannt), sondern diese Eigenschaften sollte man sich zunutze machen.

Aus der Angabe können wir folgende Eigenschaften bzw. Gleichungen ableiten:

  • Matrix A ist quadratisch, daher gilt a_{ij} = b_{ij} + c_{ij} sowie a_{ji} = b_{ji} + c_{ji}
  • Matrix B ist symmetrisch, daher gilt b_{ij} = b_{ji}
  • Matrix C ist schiefsymmetrisch, daher gilt c_{ij} = -c_{ji}
  • Matrix B lässt sich über die Matrix A und die transponierte Matrix von A (also A^T beschreiben): b_{ij} = \frac{1}{2} (a_{ij} + a_{ji})

Nun setzen wir die Gleichungen so ein, dass sich daraus eine wahre Aussage ergibt, d.h. alle Variablen wegfallen.

Zuerst eliminieren wir dazu b_{ji} und c_{ji}, diese lassen sich ja durch b_{ij} bzw. -c_{ij} ausdrücken:

  • a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}
  • a_{ji} = b_{ij} - c_{ij}
  • b_{ij} = \frac{1}{2} (a_{ij} + a_{ji})

Nun setzen wir für b_{ij} ein:

  • a_{ij} = \frac{1}{2} (a_{ij} + a_{ji}) + c_{ij}
  • a_{ji} = \frac{1}{2} (a_{ij} + a_{ji}) - c_{ij}

Und formt man beide Gleichungen nach c_{ij} um:

  • c_{ij} = a_{ij} - \frac{1}{2} a_{ij} - \frac{1}{2} a_{ji} = \frac{1}{2} (a_{ij} - a_{ji})
  • c_{ij} = \frac{1}{2} a_{ij} + \frac{1}{2} a_{ji} - a_{ji} = \frac{1}{2} (a_{ij} - a_{ji})

Ergibt sich für beide Gleichungen der gleiche Term. Womit die Aussage bewiesen wäre.

Außerdem hat man nun zwei allgemein verwendbare Gleichungen hergeleitet:

  • b_{ij} = \frac{1}{2} (a_{ij} + a_{ji})
  • c_{ij} = \frac{1}{2} (a_{ij} - a_{ji})

Mit diesen kann man die Zerlegung der Matrix A aus der Angabe recht schnell konkret nachrechnen.

-- Berti933 (Diskussion) 17:23, 2. Mär. 2015 (CET)