TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 512

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Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung A von \mathbb{R}^3 in \mathbb{R}^2 eine lineare Abbildung ist:

A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}3x_1+5x_2\\x_1-3x_3\end{pmatrix}


Lösung von D4ni31[Bearbeiten]

Es muss die Homogenität und die Additivität gezeigt werden.
additiv: f(x+y)=f(x)+f(y)
homogen: f(\lambda*x)=\lambda*f(x)

  • Additivität:

\begin{pmatrix}3(x_1+y_1)+5(x_2+y_2)\\(x_1+y_1)-3(x_3+y_3)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3x_1+5x_2\\x_1-3x_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3y_1+5y_2\\y_1-3y_3\end{pmatrix}

Rechte Seite umformen.

\begin{pmatrix}3(x_1+y_1)+5(x_2+y_2)\\(x_1+y_1)-3(x_3+y_3)\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}3x_1+5x_2+3y_1+5y_2\\x_1-3x_3+y_1-3y_3\end{pmatrix}
Durch weiteres Vereinfachen auf der rechten Seite sieht man, dass sie der Linken gleicht

  • Homogenität:

\begin{pmatrix}\lambda3x_1+\lambda5x_2\\\lambda x_1-\lambda3x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda(3x_1+5x_2)\\\lambda(x_1-3x_3)\end{pmatrix}= \lambda \begin{pmatrix}3x_1+5x_2\\x_1-3x_3\end{pmatrix}

Homogenität by P0rt0s[Bearbeiten]

(Lösung, die mir meiner Meinung nach korrekter erscheint da oben fälschlich die Abbildung A benutzt wurde):

\ A\begin{pmatrix}\lambda x_1\\\lambda x_2\\\lambda x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda3x_1+\lambda5x_2\\\lambda x_1-\lambda3x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda(3x_1+5x_2)\\\lambda(x_1-3x_3)\end{pmatrix}= \lambda A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

Beide Bedingungen erfüllt =>Lineare Abbildung

Links[Bearbeiten]