TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514

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Sei V = \mathbb{C}^3,


\begin{align}
U &= \{(z_1, z_2, z_3)\in V \mid z_1+z_2 = z_3\},\\
W &= \{(z_1,z_2,z_3)\in V \mid z_2 = -z_1\}.
\end{align}

Zeigen Sie, dass U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)
Dimension
Dimension[Bearbeiten, WP, 3.17 Definition]

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Lösung von Gittenburg[Bearbeiten]

U ist Teilraum von V[Bearbeiten]

  1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
  2. abgeschlossen bezüglich +
    
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2 \\ y_1 + y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_1 + x_2 + y_1 + y_2
\end{pmatrix}
  3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

W ist Teilraum von V[Bearbeiten]

  1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
  2. abgeschlossen bezüglich +
    
\begin{pmatrix}
x_1 \\ -x_1 \\ x_3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ -y_1 \\ y_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\
-(x_1 + y_1)\\
x_3 + y_3
\end{pmatrix}
  3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

Dimension von U[Bearbeiten]


\left|
\begin{pmatrix}
1 \\ 0\\ 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1\\ 1
\end{pmatrix}
\right| = 2

Dimension von W[Bearbeiten]


\left|
\begin{pmatrix}
1 \\ -1\\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 0\\ 1
\end{pmatrix}
\right| = 2

Links[Bearbeiten]

Wikipedia:

Ähnliche Beispiele: